Cálculo de Una Variable, 6a ed

SECCIÓN 10.2 CÁLCULO CON CURVAS PARAMÉTRICAS |||| 635
| Observe que la integral da dos veces la longitud de arco del círculo, porque cuando
t se incrementa de 0 a 2p, el punto sen 2t, cos 2t cruza el círculo dos veces. En
general, al hallar la longitud de una curva C a partir de una representación paramétrica,
se tiene que ser cuidadoso para asegurar que C es cruzada sólo una vez cuando t se incrementa
de a a b.
V EJEMPLO 5 Encuentre la longitud de un arco de la cicloide x ru sen u,
y r1 cos u.
SOLUCIÓN Del ejemplo 3 se ve que un arco se describe mediante el intervalo de parámetro
0 u 2p. Puesto que
& El resultado del ejemplo 5 dice que la
longitud de un arco de una cicloide es 8 veces
el radio del círculo generador (véase fig. 5).
Sir Christopher Wren, en 1658, fue el primero
en demostrar lo anterior, quien después llegó
a ser el arquitecto de la catedral de Saint Paul,
en Londres.
y
0
r
L=8r
2πr
x
se tiene
L y
2
Para evaluar esta integral, se usa la identidad sen 2 x 1 21 cos 2x con u 2x, que da
1 cos u 2 sen 2 u2. Debido a que 0 u 2p, se tiene 0 u2 p y, de este
modo, senu2 0. Por lo tanto,
y, de esta manera,
0
y 2
sr 2 1 2 cos cos 2 sen 2 d r y 2
s21 cos d
0
dx
d
r1 cos
d
dx 2
d
dy 2
s21 cos s4 sen 2 2 2 sen2 2 sen2
L 2r y 2
2
sen2 d 2r2 cos2] 0
0
y
d y 2
0
dy
d
r sen
sr 2 1 cos 2 r 2 sen 2
0
d
FIGURA 5
2r2 2 8r
ÁREA DE SUPERFICIE
En la misma forma que para la longitud de arco, se puede adaptar la fórmula 8.2.5 a fin de
obtener una fórmula para el área de superficie. Si la curva dada por las ecuaciones paramétricas
x f t, y tt, a t b, se hace girar respecto al eje x, donde f , t son continuas
y tt 0, entonces el área de la superficie resultante está dada por
7
S y
Las fórmulas simbólicas generales S x 2y ds y S x 2x ds fórmulas 8.2.7 y 8.2.8
aún son válidas, pero para curvas paramétricas se usa
ds
dt
dx 2
dt
dy 2
dt
EJEMPLO 6 Muestre que el área de superficie de una esfera de radio r es 4pr 2 .
SOLUCIÓN La esfera se obtiene al girar el semicírculo
x r cos t
2y
dt
dx 2
y r sen t
dt
dy 2
dt
0 t