Cálculo de Una Variable, 6a ed

666 |||| CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES
En la figura 6 se usa una computadora para bosquejar varias cónicas para demostrar el
efecto de variar la excentricidad e. Observe que cuando e es cercana a 0 la elipse es casi
circular, mientras que se vuelve más alargada cuando e l 1 . Cuando e 1, por supuesto,
la cónica es una parábola.
e=0.1
e=0.5
e=0.68
e=0.86
e=0.96
FIGURA 6
e=1 e=1.1 e=1.4 e=4
LEYES DE KEPLER
En 1609 el matemático y astrónomo alemán Johannes Kepler, con base en enormes cantidades
de datos astronómicos, publicó las siguientes tres leyes de movimiento planetario.
LEYES DE KEPLER
1. Un planeta gira alrededor del Sol en órbita elíptica con el Sol en un foco.
2. La recta que une el Sol a un planeta recorre áreas iguales en tiempos iguales.
3. El cuadrado del periodo de revolución de un planeta es proporcional al cubo de
la longitud del eje mayor de su órbita.
Aun cuando Kepler formuló sus leyes en términos del movimiento de planetas alrededor
del Sol, aplican igualmente bien al movimiento de lunas, cometas, satélites y otros
cuerpos que giran sujetos a una sola fuerza gravitacional. En la sección 13.4 se demuestra
cómo deducir las leyes de Kepler a partir de las leyes de Newton. Aquí se emplea la primera
ley de Kepler, junto con la ecuación polar de una elipse, para calcular cantidades de
interés en astronomía.
Para fines de cálculos astronómicos, es útil expresar la ecuación de una elipse en términos
de su excentricidad e y su eje semimayor a. Puede escribir la distancia d del foco a la
directriz en términos de a si usa (4):
a 2 e2 d 2
1 d 2 a2 (1 e 2 )
1 d a(1 e2 )
(1 e 2 ) 2 e 2 e
Entonces ed a(1 e 2 ). Si la directriz es x d, entonces la ecuación polar es
r
ed
r a(1 e2 )
1 cos 1 e cos