Cálculo de Una Variable, 6a ed

SECCIÓN 4.3 MANERA EN QUE LAS DERIVADAS AFECTAN LA FORMA DE UNA GRÁFICA |||| 289
V EJEMPLO 2 Encuentre los valores máximos y mínimos locales de la función f del
ejemplo 1.
SOLUCIÓN A partir de la tabla de la solución para el ejemplo 1, f x cambia de negativa
a positiva en 1, de modo que f 1 0 es un valor mínimo local por la Prueba
de la primera derivada. De manera análoga, f cambia de negativa a positiva en 2, de
modo que f 2 27 también es un valor mínimo local. Como ya se hizo notar,
f 0 5 es un valor máximo local porque f x cambia de positiva a negativa
en 0.
EJEMPLO 3 Determine los valores máximo y mínimo de la función
tx x 2 sen x
0 x 2
SOLUCIÓN Con el fin de calcular los números críticos de t derive:
tx 1 2 cos x
De tal manera tx 0 cuando cos x 1 2. Las soluciones de esta ecuación son 23
y 43. Como t es derivable dondequiera, los únicos números críticos son 23 y 43 y
de esta manera se analiza t en la tabla siguiente.
Intervalo tx 1 2 cos x t
& Los signos + de la tabla provienen del hecho
de que tx 0 cuando cos x 1 2. A partir
de la gráfica de y cos x, esto es verdadero en
los intervalos indicados.
0 x 2p3 creciente en (0, 23)
2p3 x 4p3 decreciente en (23, 43)
4p3 x 2p creciente en (43, 2)
Puesto que tx cambia de positivo a negativo en 23, la prueba de la primera derivada
establece que hay un máximo local en 23 y que el máximo local es
t23 2
3
2
2 sen
3 2
3 2 s3 2 s3 3.83
2 3
De manera similar, tx pasa de negativo a positivo en 43 por lo que
t43 4
3
4
2 sen
3 4
3 2 s3 4 s3 2.46
2 3
es un valor mínimo local. La gráfica de t en la figura 4 apoya esta conclusión.
6
FIGURA 4
y=x+2 sen x
0 2π