Cálculo de Una Variable, 6a ed

PROBLEMAS ADICIONALES
& Cubra la solución del ejemplo e intente
resolverlo primero.
EJEMPLO 1
(a) Demuestre que si
f
es una función continua, en tal caso
y a
0
f x dx y a
f a x dx
0
(b) Use el inciso (a) para mostrar que
2
y0
sen n x
sen n x cos n x dx
4
para todos los números positivos n.
& Los principios de la resolución de problemas
se discuten en la página 76.
SOLUCIÓN
(a) A primera vista, la ecuación dada podría parecer un poco desconcertante. ¿Cómo es
posible conectar el lado izquierdo con el lado derecho? Con frecuencia las conexiones se
pueden hacer a través de uno de los principios de resolución de problemas: introducir
algo extra. Aquí el ingrediente extra es una nueva variable. Es común pensar en introducir
una nueva variable cuando se usa la regla de sustitución para integrar una función
específica. Pero esa técnica aún es útil en la circunstancia actual en la que se tiene una
función general f .
Una vez que se piensa hacer la sustitución, la forma del lado derecho hace pensar que
debe ser u a x. Entonces du dx. Cuando x 0, u a; cuando x a, u 0.
Así,
y a
0
f a x dx y 0
a
f u du y a
f u du
0
Pero esta integral del lado derecho es sólo otra forma de escribir
queda demostrada la ecuación dada.
f x dx. Por lo tanto,
(b) Si se permite que la integral dada sea I y se aplica el inciso (a) con a 2, se obtiene
2
I y0
sen n x
sen n x cos n x dx y0
2
sen n 2 x
sen n 2 x cos n 2 x dx
x a 0
& Las gráficas de computadora de la figura 1
hacen que parezca plausible que todas las integrales
del ejemplo tengan el mismo valor. La
gráfica de cada integrando se identifica con el
valor correspondiente de n.
Una identidad trigonométrica bien conocida indica que sen2 x cos x y
cos2 x sen x, así que se obtiene
2
I y0
cos n x
cos n x sen n x dx
1
3
4
2
1
Observe que las dos expresiones para I son muy similares. De hecho, los integrandos tienen
el mismo denominador. Esto hace pensar que se deben sumar las dos expresiones. Si
se procede de esta manera, se obtiene
0
FIGURA 1
π
2
2 sen
2I y
n x cos n x
0 sen n x cos n x dx y0
Por lo tanto, I 4.
2
1 dx
2
521