Cálculo de Una Variable, 6a ed

SECCIÓN 3.7 RAZONES DE CAMBIO EN LAS CIENCIAS NATURALES Y SOCIALES |||| 227
Para ser más específicos, considere una población de bacterias en un medio nutritivo
homogéneo. Suponga que, por medio de la toma de muestras de la población a ciertos
intervalos, se determina que esa población se duplica cada hora. Si la población inicial
es n 0 y el tiempo t se mide en horas, entonces
y, en general,
f t 2 t n 0
La función de población es n n 0 2 t .
En la sección 3.4 se demostró que
Por eso, la rapidez de crecimiento de la población de bacterias, en el tiempo t, es
dn
dt
f 1 2f 0 2n 0
f 2 2f 1 2 2 n 0
f 3 2f 2 2 3 n 0
d
dx ax a x ln a
d dt n 02 t n 0 2 t ln 2
Por ejemplo, suponga que inicia con una población inicial de n 0 100 bacterias. En
consecuencia, la rapidez de crecimiento después de 4 horas es
dn
dt
100 2 4 ln 2 1600 ln 2 1109
t4
Esto significa que, después de 4 horas, la población de bacterias crece en una cantidad de
casi 1 109 bacterias por hora.
EJEMPLO 7 Cuando considera el flujo de la sangre por un vaso sanguíneo, como una vena
o una arteria, puede tomar la forma de este vaso como el de un tubo cilíndrico con
radio R y longitud l, como se ilustra en la figura 6.
R
r
FIGURA 8
Flujo de sangre dentro de una arteria
l
Debido a la fricción en las paredes del tubo, la velocidad v de la sangre es máxima a lo
largo del eje central del propio tubo y decrece conforme aumenta la distancia r al eje, hasta
que v se vuelve 0 en la pared. La relación entre v y r está dada por la ley del flujo laminar
descubierta por el físico francés Jean-Louis-Marie Poiseuille en 1840. En ésta se afirma que
& Para información más detalladas, véase W.
Nichols y M. ORourke (eds.), McDonalds Blood
Flow in Arteries: Theoretic, Experimental, and
Clinical Principles, 4th ed. (Nueva York: Oxford
University Press, 1998).
1
v
P
4l R2 r 2
donde h es la viscosidad de la sangre y P es la diferencia en la presión entre los extremos
del tubo. Si P y l son constantes, entonces v es función de r, con dominio 0, R.