Cálculo de Una Variable, 6a ed

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8 MÁS APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN La longitud de una curva es el límite de las extensiones de los polígonos inscritos. Se han considerado algunas aplicaciones de integrales en el capítulo 6: áreas, volúmenes, trabajo y valores promedio. Aquí se exploran algunas de muchas otras aplicaciones geométricas de la integración: la longitud de una curva, el área de una superficie, así como cantidades de interés en física, ingeniería, biología, economía y estadística. Por ejemplo, se investigará el centro de gravedad de una placa, la fuerza ejercida por la presión del agua de una presa, el flujo de sangre desde el corazón humano y el tiempo promedio en espera durante una llamada telefónica. 524
FIGURA 1 TEC Visual 8.1 exhibe una animación de la figura 2. 8.1 LONGITUD DE ARCO ¿Qué se entiende por longitud de una curva? Se podría pensar en ajustar un trozo de cuerda a la curva de la figura 1, y después medir la cuerda contra una regla. Pero eso podría ser difícil de hacer con mucha exactitud si se tiene una curva complicada. Se necesita una definición precisa para la longitud de un arco de una curva, en el mismo sentido que las definiciones desarrolladas para los conceptos de área y volumen. Si la curva es un polígono, se determina con facilidad su longitud; sólo se suman las longitudes de los segmentos de recta que forman el polígono. (Se puede usar la fórmula de la distancia para hallar la distancia entre los puntos extremos de cada segmento.) Se definirá la longitud de una curva general aproximándola primero mediante un polígono y luego tomando un límite cuando se incrementa el número de segmentos del polígono. Este proceso es familiar para el caso de un círculo, donde la circunferencia es el límite de longitudes de polígonos inscritos (véase la figura 2). Ahora suponga que una curva C se define mediante la ecuación y f x, donde f es continua y a x b. Se obtiene una aproximación poligonal a C dividiendo el intervalo [a, b] en n subintervalos con puntos extremos x 0 , x 1 ,..., x n y de amplitud igual a x. Si y i f x i , por lo tanto el punto P i x i , y i yace en C y el polígono con vértices P 0 , P 1 ,..., P n , ilustrado en la figura 3, es una aproximación a C. y P¡ P y=ƒ FIGURA 2 P¸ P i-1 P i Pn FIGURA 3 0 a x¡ ¤ xi-1 x b x i P i La longitud L de C es aproximadamente la longitud de este polígono y la aproximación es mejor cuando se incrementa n. (Véase la figura 4, donde se ha ampliado el arco de la curva entre P i1 y P i y se muestran las aproximaciones con valores sucesivamente más pequeños de x) Por lo tanto, se define la longitud L de la curva C con la ecuación y f x, a x b, cuando el límite de las longitudes de estos polígonos inscritos (si el límite existe): P i-1 P i-1 P i-1 P i-1 FIGURA 4 P i P i P i 1 L lím n l n P i1P i i1 Observe que el procedimiento para definir la longitud de arco es muy similar al procedimiento empleado para definir área y volumen: se divide la curva en un gran número de partes pequeñas. Luego, se determinan las longitudes aproximadas de las partes pequeñas y se suman. Por último, se toma el límite cuando n l . La definición de la longitud de arco expresada en la ecuación 1 no es muy conveniente para propósitos de cálculo, pero se puede deducir una fórmula integral para L en el caso donde f tiene una derivada continua. [Tal función f se denomina uniforme porque un cambio pequeño en x produce un cambio pequeño en f x.] Si y i y i y i1 , entonces P i1 P i sx i x i1 2 y i y i1 2 sx 2 y i 2 525
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