Cálculo de Una Variable, 6a ed

A52 |||| APÉNDICE G EL LOGARITMO DEFINIDO COMO UNA INTEGRAL
PRUEBA DE LA LEY 1 Usando la primera ley de logaritmos y la ecuación 10, tiene
lne x e y lne x lne y x y lne xy
Como ln es una función biunívoca, se deduce que e x e y e xy .
Las leyes 2 y 3 se demuestran de un modo semejante (ejercicios 6 y 7). Como pronto verá,
la Ley 3 en realidad se cumple cuando r es cualquier número real.
A continuación se demuestra la fórmula de derivación para e x .
12
d
dx ex e x
PRUEBA La función y e x es derivable porque es la función inversa de y ln x, que sabe
es derivable con derivada diferente de cero. Para hallar su derivada, use el método de función
inversa. Sea y e x . Entonces ln y x y, derivando esta última ecuación implícitamente
con respecto a x, obtiene
1
y
dy
dx 1
dy
dx y ex
FUNCIONES EXPONENCIALES GENERALES
Si a 0 y r es cualquier número racional, entonces por (9) y (11),
a r e ln a r e r ln a
Por lo tanto, incluso para números irracionales x, definamos
13
a x e x ln a
Así, por ejemplo
La función f(x) a x se denomina función exponencial con base a. Note que a x es positiva
para toda x porque e x es positiva para toda x.
La definición 13 permite extender una de las leyes de logaritmos. Ya sabe que ln(a r ) r ln a
cuando r es racional. Pero si hace que r sea cualquier número real que tenga, de la definición
13,
Entonces
2 s3 e s3 ln 2 e 1.20 3.32
ln a r lne r ln a r ln a
14
ln a r r ln a
para cualquier número real r