Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

determinino i punti fissi. Si disegni il ritratto di fase nel piano delle fasi esteso e si studino euristicamentele proprietà di stabilità dei punti fissi. Si determini esplicitamente l’equazione delle linee di fase.Soluzione: l’equazione è dI/dx = −nσI, la costante nσ è detta coefficiente lineari di scattering del gasdi elettroni.Esercizio 1.12. Una popolazione ha tasso di crescita e tasso di morte rispettivamente proporzionali alquadrato e al cubo del numero di individui x ≥ 0. Si dimostri che l’evoluzione della popolazione è regolatadall’equazione differenziale autonomaẋ = ax 2 − bx 3 a, b ∈ R +Si determinino i punti fissi, si disegni il ritratto di fase nel piano delle fasi esteso e si discuta euristicamentela stabilità dei punti fissi.Esercizio 1.13. Una popolazione ha tasso di crescita e tasso di morte rispettivamente proporzionali alcubo e al quadrato del numero di individui x ≥ 0. Si dimostri che l’evoluzione della popolazione è regolatadall’equazione differenziale autonomaẋ = ax 3 − bx 2 a, b ∈ R +Si determinino i punti fissi, si disegni il ritratto di fase nel piano delle fasi esteso e si discuta euristicamentela stabilità dei punti fissi.1.4. Stima del tempo di percorrenzaNello studio dell’equazione logistica si è osservato che tutte le linee di fase corrispondentia dati iniziali non critici tendono asintoticamente al punto fisso 1. Questo risultato segueimmediatamente dalla soluzione esplicita del problema di Cauchy per l’equazione logistica,ma è anche un’ovvia conseguenza del teorema di unicità della soluzione del problema diCauchy. Questo problema può essere visto sotto una terza prospettiva: l’analisi graficapermette di stabilire che una linea di fase ϕ del sistema dinamico logistico uscente dalpunto (0, x 0 ), con x 0 ∈ (0, 1), raggiunge un qualsiasi punto x 1 ∈ (x 0 , 1); il tempo t 1necessario per giungere in x 1 è dato da∫ t1∫1 dϕt1∫ x1∫ϕ(s)[1 − ϕ(s)] ds ds = 1x1 [ 1ds ⇒0x 0x(1 − x) dx = t 1 ⇒x 0x + 1 ]dx = t 11 − x0Osservando che il secondo integrale diverge per x 1 → 1 si conclude che la linea di fasetende asintoticamente al punto fisso 1, ma non lo raggiunge in tempo finito.Questa tecnica può essere ovviamente applicata a un qualsiasi sistema dinamico deltipo (1.5). Sia ϕ(t) una linea di fase di (1.5) passante per i due punti (t 0 , x 0 ) e (t 1 , x 1 ); iltempo di percorrenza tra i due punti considerati è dato dall’integrale∫ x1x 01f(x) dx = t 1 − t 0 (1.10)Calcolare l’integrale (1.10) ammonta a risolvere il sistema dinamico per separazione dellevariabili, quindi sembra che questo modo di guardare al problema sia ridondante se nonvuoto.fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 10