Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

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x✻x✻x 2❄✻x 1✛f(x)✲tFig. 1.2. Costruzione grafica delle linee di fase. A sinistra è disegnato il grafico del campo delle direzioniruotato di novanta gradi in verso antiorario. A destra è disegnato il ritratto di fase.La conoscenza del campo delle direzioni f permette di disegnare, almeno in modoapprossimato, l’andamento delle linee di fase del sistema dinamico (1.5). L’insieme ditutte le linee di fase al variare del dato iniziale è detto ritratto di fase del sistema dinamico.Si procede nel modo seguente, i diversi passi sono illustrati nella figura 1.2:– si disegna il grafico della funzione f con assi ruotati di novanta gradi in versoantiorario;– a destra del grafico di f si disegna il piano delle fasi esteso e sul suo asse verticalesi proiettano gli zeri della funzione f;– in corrispondenza degli zeri di f si tracciano sul piano delle fasi le linee di fasecostanti che rappresentano i punti fissi;– si individuano le regioni in cui f è positiva e quelle in cui è negativa e le si indicanorispettivamente con una freccia verso l’alto e una verso il basso;– si traccia sul piano delle fasi l’andamento qualitativo delle linee di fase corrispondentia dati iniziali non critici lasciandosi guidare dal segno di f.In figura le linee di fase emergenti da dati iniziali non critici sono state disegnate inmodo da tendere asintoticamente a un punto fisso senza raggiungerlo in un tempo finito.Questo comportamento è legato alla proprietà di unicità della soluzione del problema diCauchy che verrà dimostrata nel paragrafo 1.5 sulla base di opportune ipotesi di regolaritàsulla funzione f. In condizioni di validità del teorema di esistenza e di unicità dellasoluzione del problema di Cauchy per il sistema dinamico (1.5) due linee di fase nonpossono intersecarsi, se lo facessero, infatti, il problema di Cauchy corrispondente a (1.5)con dato iniziale il punto di intersezione ammetterebbe almeno due soluzioni.Il caso considerato nella figura 1.2 mette in evidenza il ruolo diverso giocato dai duepunti fissi x 1 e x 2 : se il dato iniziale viene scelto vicino a x 1 il moto del sistema dinamicoresta vicino a x 1 , sembra addirittura che vi tenda in modo asintotico; se il dato inizialefismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 6
viene scelto vicino a x 2 il sistema dinamico se ne allontana inesorabilmente. È immediatol’interesse di una definizione che permetta di discriminare tra i due diversi comportamentiappena illustrati. Più precisamente si vuole introdurre la nozione di punto fisso stabile percaratterizzare quei punti fissi che si comportano come x 1 in figura 1.2, cioè per individuarequei punti fissi tali che la soluzione di un problema di Cauchy con dato iniziale vicino adessi si mantiene vicina durante tutta la sua evoluzione.Si danno le seguenti definizioni: sia x e ∈ I un punto fisso del sistema dinamico (1.5),si dice che x e è– stabile se e solo se comunque si scelga un numero reale positivo ε > 0 esiste δ =δ(ε) > 0 tale che (x e − δ, x e + δ) ⊂ I e per ogni x 0 ∈ (x e − δ, x e + δ) la soluzioneϕ : [t 0 , +∞) ⊂ R → ϕ(t) ∈ R del problema di Cauchy associato al sistema dinamico(1.5) con dato iniziale x(t 0 ) = x 0 , con t 0 ∈ R arbitrario, è tale che per ogni t ∈ J siha ϕ(t) ∈ (x e − ε, x e + ε);– asintoticamente stabile se e solo se è stabile e inoltre esiste un intorno I ′ ⊂ I di x etale che per ogni x 0 ∈ I ′ la soluzione ϕ : R → R del problema di Cauchy associatoal sistema dinamico (1.5) con dato iniziale x(t 0 ) = x 0 , con t 0 ∈ R arbitrario, è taleche lim t→∞ ϕ(t) = x e ;– instabile se e solo se non è stabile.Esempio 1.10. Se si considera il problema della riproduzione normale, lo studio grafico, ma anche lasoluzione esplicita, mostra immediatamente che il punto 0 è un punto fisso instabile per il corrispondentesistema dinamico.Esempio 1.11. Sia T la temperatura di un corpo all’istante t immerso in un fluido (il mare) tenuto atemperatura costante T e . La legge di Newton afferma che la temperatura del corpo varia con il tempocon un tasso di segno opposto e proporzionale a T (t) − T e .Per scrivere l’equazione evolutiva del modello si osserva che sulla base della legge fenomenologica diNewton si haT (t + ∆t) − T (t) = −k[T (t) − T e ]∆t ⇒ dTdt = −k(T − T e) (1.7)dove k è una costante reale positiva. L’evoluzione della temperatura del solido è quindi descritta dalsistema dinamico (1.5) con campo delle direzioni f(T ) = −k(T − T e ) definito per T ≥ 0 (conseguenzadella terza legge della termodinamica). Studiando l’equazione algebrica f(T ) = 0 si scopre che l’unicopunto fisso è proprio T e , cioè la temperatura del corpo risulta costante solo se il sistema viene preparatocon temperatura uguale a quella del bagno termico. Lo studio grafico è semplice, si veda la figura 1.3, emostra che il punto fisso è asintoticamente stabile. Integrando per parti l’equazione evolutiva del sistemasi ottiene la soluzione esplicita T (t) = T e +(T 0 −T e ) exp{−kt}, dove T 0 è la condizione iniziale T (0) = T 0 .Esempio 1.12. Equazione logistica (Verhulst 1836). Il modello logistico si ottiene da quello della riproduzionenormale supponendo che la costante di proporzionalità dipenda dal numero di individui come1 − x. L’equazione evolutiva è, quindi, ẋ = x(1 − x) che è nella forma (1.5) con campo delle direzionif(x) = x(1 − x) definito su I = R + perché il modello non ha senso per x < 0. Studiando l’equazionealgebrica f(x) = 0 si scopre che esistono i due punti fissi 0 e 1. Lo studio grafico è semplice, si vedafismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 7
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y✻✛− √ 2✲✲ ✲✲✛
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Esercizio 2.16. Per i seguenti sist
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degli assi cartesiani dello spazio
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Dal momento che I 1 < I 2 < I 3 si
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Il problema (3.1) può essere ricon
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dell’analisi avendo come riferime
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Γ e = {(q, p) ∈ R 2 : q e 1 ≤
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Osservato che dall’equazione dell
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assunto nel minimo, cioè a zero. I
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La tesi, allora, segue in virtù de
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u(q)✻q 3 q 4 q 1 q 2✲ qu 0p
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p✻q0(q − q 0 ) 1/2 p (q − q 0
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Si può osservare che ˙θ ha segno
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Troncando lo sviluppo delle potenze
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deve specificare il valore della ca
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valore della soluzione sull’asse
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x ∈ [a, b], u x (a, t) = u 1,a (t
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Inoltre si è usata l’identità n
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con q = (x, y, z) ∈ R 3 , t ∈ R
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Le equazioni del moto possono esser
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Sostituendo queste espressioni nell
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1. u x + u y = u;2. 2u x − 3u y =
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In realtà lo studio è limitato al
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3. u(x, y) = log √ x 2 + y 2 , (x
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nella regione√2E := {(ξ, η) ∈
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ammette l’unica soluzioneu(x, t)
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Esercizio 6.43. Una corda semi-illi
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Esercizio 6.50. Come l’Esercizio
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4. u 0 (x) = exp{−α|x|} con α
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6.3. Equazione di Laplace: funzioni
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