Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

−ω 2 sin θ, dove ω = √ g/l è la pulsazione e g l’accelerazione di gravità. Procedendo come nell’Esempio 2.1il problema può essere ricondotto allo studio del sistema dinamico planare{ ˙q = pṗ = −ω 2 (2.29)sin qdove si è posto q = θ e p = ˙θ. Lo studio dettagliato di problemi meccanici unidimensionali verrà affrontatonel paragrafo 3, in questo esempio ci si limita a studiare la stabilità dell’origine.In primo luogo si osserva che l’origine dello spazio delle fasi, ovvero il punto q = 0 e p = 0, è un puntofisso del sistema dinamico, infatti posto f(q, p) = (p, −ω 2 sin q) il campo delle direzioni, si ha f(0, 0) = 0.Per studiare la stabilità dell’origine si può usare l’approccio di Liapunov. Si osserva dapprima che lafunzione h(q, p) = p 2 /2 − ω 2 cos q è un integrale primo del sistema dinamico, infattiL f h(q, p) = ∇h(q, p) · f(q, p) = (ω 2 sin q)p + p(−ω 2 sin q) = 0Si considera, poi, la funzione w = h − h(0, 0) = h + ω 2 e si dimostra che è una funzione di Liapunov. Inprimo luogo w(0, 0) = h(0, 0) − h(0, 0) = 0; in secondo luogo∂ 2 w∂q 2 = ω2 cos q,∂ 2 w∂p 2 = 1, ∂ 2 w∂q∂p = 0allora il determinante hessiano calcolato nell;origine vale ω 2 , quindi è positivo. In conclusione l’origine èun punto di minimo relativo proprio per la funzione w, quindi w è una funzione di Liapunov per l’origineche, a sua volta, è un punto fisso stabile.Si considera, ora, il pendolo semplice sottoposto all’azione di una forza dissipativa proporzionale a ˙θmediante un coefficiente positivo b > 0. In questo caso la descrizione in termini di sistema dinamico èanaloga con l’unica (fondamentale) differenza che il campo delle direzioni è f(q, p) = (p, −ω 2 sin q − bp).In questo caso la funzione w non è più un integrale primo del sistema dinamico, ma resta una funzionedi Liapunov per l’origine, infattiL f w(q, p) = ∇w(q, p) · f(q, p) = (ω 2 sin q)p + p(−ω 2 sin q − bp) = −bp 2 ≤ 0In virtù del Teorema 2.30, allora, si conclude che l’origine è un punto fisso stabile. In questo caso cisi aspetta che l’origine sia anche asintoticamente stabile, purtroppo non è possibile riconoscere questaproprietà sulla base del Teorema 2.30 perché la terza ipotesi sulla funzione w non è soddisfatta, piùprecisamente L f w è uguale a zero sui punti dell’asse q, quindi w è una funzione di Liapunov per l’originema non è di Liapunov in senso stretto. Questa incapacità del teorema di Liapunov a trattare i puntiasintoticamente stabili del pendolo dissipativo è in realtà comune a tutti i sistemi meccanici dissipativi;nel seguito si vedrà come il problema possa essere risolto per mezzo del Teorema 2.36 di Barbasin.Al fine di enunciare il teorema di Barbasin si introduce il concetto di insieme positivamenteinvariante Si considera il sistema dinamico (2.6) con f di Lipschitz su I ⊂ R n ,si dice che I ′ ⊂ I è positivamente invariante sotto l’evoluzione del sistema dinamico(2.6) se e solo per ogni x 0 ∈ I ′ l’unica soluzione ϕ : [t 0 , +∞) → R del problema di Cauchyassociato a (2.6) con dato iniziale x(t 0 ) = x 0 è definita globalmente su [t 0 , +∞) e inoltreϕ(t) ∈ I ′ per ogni t ≥ t 0 . Ciascuna componente connessa di una superficie di livello è uninsieme positivamente invariante.Teorema 2.36 (Barbasin–Krasovskij) Si consideri il sistema dinamico (2.6) con campodelle direzioni f : I ⊂ R n → R n continuo e di Lipschitz su I e sia x e un suo puntofisso. Si supponga che esiste una funzione w : I ′ ⊂ I → R di classe C 1 sull’intornofismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 47