Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

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6.2. Alcuni semplici esempi preliminariEsercizio 6.8. Si risolva l’equazione differenziale∂ 2 u∂x 2 = 0 in D := {(x, y) ∈ R2 : 0 < x < 1, −∞ < y < +∞}con condizioni di Dirichelet u(0, y) = y 2 e u(1, y) = 1.Soluzione 6.8: u(x, y) = x(1 − y 2 ) + y 2 .Esercizio 6.9. Si risolva l’equazione differenziale∂ 2 u∂x 2 = 6xy in D := {(x, y) ∈ R2 : 0 < x < 1, −∞ < y < +∞}con condizioni di miste Dirichelet–Neumann u(0, y) = y e ∂u/∂x(1, y) = 0.Soluzione 6.9: u(x, y) = x 3 y − 3xy + y.Esercizio 6.10. Si risolva l’equazione differenziale∂ 2 u∂x∂y = 2x in D := {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0}con condizioni di Dirichelet u(0, y) = 0 e u(x, 0) = x 2 .Soluzione 6.10: u(x, y) = x 2 (1 + y).6.3. Equazione di Laplace: funzioni armonicheSi dice che una funzione u : R 2 → R 2 è armonica se e solo se è soluzione dell’equazione diLaplace∂ 2 u∂x (x, y) + ∂2 u(x, y) = 0 (6.2)2 ∂y2 ovvero ∆u ≡ ∇ 2 u = 0. Applicazioni fisiche: il potenziale elettrostatico e la temperaturadi equilibrio in un solido sono regolate dall’equazione di Laplace.Esercizio 6.11. Sia (x 0 , y 0 ) ∈ R 2 , r ∈ R ∗ + , u : R2 → R e γ la curva regolare con supporto {(x, y) ∈ R 2 :(x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 = r 2 } percorsa una sola volta in senso antiorario; si calcoli l’integrale ∫ γu dl di ulungo la curva γ nei seguenti casi:1. u(x, y) = xy, (x 0 , y 0 ) = (1, 2), r = 4;2. u(x, y) = e x cos y, (x 0 , y 0 ) = (0, 0), r = 1;3. u(x, y) = log √ x 2 + y 2 , (x 0 , y 0 ) = (1, 0), r = 1/2;4. u(x, y) = x + y, (x 0 , y 0 ) = (1, −1), r = 5.Suggerimento: si usino le proprietà delle funzioni armoniche.Esercizio 6.12. Sia (x 0 , y 0 ) ∈ R 2 , r ∈ R ∗ + , u : R2 → R e B ≡ B ((x 0 , y 0 ), r) := {(x, y) ∈ R 2 :(x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 < r 2 }; si calcoli l’integrale ∫ ∫ Bu(x, y) dx dy di u esteso alla regione B nei seguenticasi:1. u(x, y) = xy, (x 0 , y 0 ) = (1, 2), r = 4;2. u(x, y) = e x cos y, (x 0 , y 0 ) = (0, 0), r = 1;fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 102
3. u(x, y) = log √ x 2 + y 2 , (x 0 , y 0 ) = (1, 0), r = 1/2;4. u(x, y) = x + y, (x 0 , y 0 ) = (1, −1), r = 5.Suggerimento: si usino le proprietà delle funzioni armoniche.Esercizio 6.13. Sia u : R 2 → R e B ≡ B ((0, 0), 1) := {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 < 1}. Si determinino ilmassimo e il minimo della funzione u nella regione B nei seguenti casi: i) u(x, y) = xy; ii) u(x, y) =x 2 − y 2 ; iii) u(x, y) = e x cos y. Si risolva lo stesso problema per la funzione u(x, y) = log √ x 2 + y 2 inC := {(x, y) ∈ R 2 : 1 ≤ √ x 2 + y 2 ≤ 2}.6.4. Equazione di Laplace: dominio rettangolareEsercizio 6.14. Si risolva l’equazione (6.2) nella regione D := {(x, y) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b} concondizioni di Dirichelet u(0, y) = u(a, y) = 0 per ogni y ∈ [0, b], u(x, 0) = sin(3πx/a) e u(x, b) = 0 perogni x ∈ [0, a].Soluzione 6.14: u(x, y) = sinh(3π(b − y)/a) sin(3πx/a)/ sinh(3πb/a).Esercizio 6.15. Si risolva l’equazione (6.2) nella regione D := {(x, y) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b} concondizioni di Dirichelet u(0, y) = u(a, y) = 0 per ogni y ∈ [0, b], u(x, 0) = f(x), con f ∈ C ∞ ([0, a]) taleche f(0) = f(a) = 0, e u(x, b) = 0 per ogni x ∈ [0, a].Soluzione 6.15: posto ϕ n (x) = √ 2/a sin(nπx/a) e 〈ϕ n , f〉 = ∫ a0 dx f(x)ϕ n(x), si hau(x, y) =∞∑n=1sinh(nπ(b − y)/a)〈ϕ n , f〉 sin n π sinh(nπb/a)a xEsercizio 6.16. Si risolva l’equazione (6.2) nella regione D := {(x, y) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b} concondizioni di Dirichelet u(0, y) = u(a, y) = 0 per ogni y ∈ [0, b], u(x, 0) = sin(πx/a) e u(x, b) = sin(3πx/a)per ogni x ∈ [0, a].Soluzione 6.16:u(x, y) = (sinh(π(b − y)/a)/ sinh(πb/a)) sin(πx/a) + (sinh(3πy/a)/ sinh(3πb/a)) sin(3πx/a)Esercizio 6.17. Si risolva l’esercizio (6.16) come sovrapposizione dei due problemi seguenti: ∇ 2 u 1 = concondizioni di Dirichelet u 1 (0, y) = u 1 (a, y) = 0 per ogni y ∈ [0, b], u 1 (x, 0) = sin(πx/a) e u 1 (x, b) = 0 perogni x ∈ [0, a]; ∇ 2 u 2 = con condizioni di Dirichelet u 2 (0, y) = u 2 (a, y) = 0 per ogni y ∈ [0, b], u 2 (x, 0) = 0e u 2 (x, b) = sin(3πx/a) per ogni x ∈ [0, a].Esercizio 6.18. Esempio di condizioni non omogenee. Si risolva l’equazione (6.2) nella regione D :={(x, y) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b} con condizioni di Dirichelet u(0, y) = 0 e u(a, y) = V per ogniy ∈ [0, b], u(x, 0) = u(x, b) = V x/a per ogni x ∈ [0, a].Soluzione 6.18: (suggerimento: v(x, y) = u(x, y) − V x/a) u(x, y) = V x/a, la soluzione non dipende da bquindi vale anche in una striscia infinita di larghezza a (condensatore a facce piane parallele).Esercizio 6.19. Esempio di condizioni non omogenee. Si risolva l’equazione (6.2) nella regione D :={(x, y) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ a, −b/2 ≤ y ≤ b/2} con condizioni di Dirichelet u(0, y) = 0 e u(a, y) = V per ogniy ∈ [−b/2, b/2], u(x, −b/2) = u(x, b/2) = V (x/a) 2 per ogni x ∈ [0, a].Soluzione 6.19: (suggerimento: v(x, y) = u(x, y) − V x/a)u(x, y) = 8Vπ 3 +∞ ∑n=1[cos nπ − 1n 3 cosh(n π ) (sin(nπb/a) a y sinh n π a)]bsin(n π )2 a x + V x afismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 103
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⇒ x(t) = Ce tcon C ∈ RImpondend
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✻x✟✻✟ ✟ ✟ ✟x✻x 0x
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viene scelto vicino a x 2 il sistem
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Esercizio 1.4. Supponendo uniforme
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Questo è parzialmente vero nel cas
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L’integrale, infatti, ha senso pe
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sensato, perché si ricorda che le
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dimostrare che il tempo t 1 − t 0
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con f : R n → R una funzione asse
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Come nel caso unidimensionale verif
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- asintoticamente stabile se e solo
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Esempio 2.9. Sulla base di argoment
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x 2✻✲✻ ✲✛ ✻❄✛ ❄
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Per esempio nel punto ¯x = (0, 1)
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livello chiusa, questa osservazione
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(x 2 + y 2 )/2. Si può verificare
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- Per a = 1, la curva di livello pa
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Teorema 2.21 Si consideri il sistem
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ciò fa intuire che in qualche sens
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Teorema 2.28 (Stabilità dei sistem
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La palla B δ (x e ) è proprio que
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e si studia la matrice associata al
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−ω 2 sin θ, dove ω = √ g/l
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Da questa proprietà segue che w è
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