Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

dove cost è una costante reale arbitraria. Scegliendo cost = 0 si ottiene proprio l’energia meccanicah(q, p) = 12m p2 − aq 2 + bq 4 (2.34)3. I punti di equilibrio soddisfano il sistema di equazioni f(q, p) = 0, ovvero{ { (√ )f1 (q, p) = 0 p/m = 0af 2 (q, p) = 0 ⇒ 2aq − 4bq 3 = 0 ⇒ P 1 = (0, 0), P 2 =2b , 0 e P 3 =( √ ) a−2b , 0sono i tre punti di equilibirio.4. Si studia la stabilità considerando il sistema linearizzato attorno ai punti critici; la matrice jacobiananel generico punto fisso ¯x = (¯q, ¯p) è(A(¯q, ¯p) =0 1/m2a − 12b¯q 2 0Si scrive, ora, l’equazione secolare e si determinano gli autovalori della matrice A(¯x):() √−λ 1/mdet(A(¯x) − λ1I) = det2a − 12b¯q 2 = λ 2 2a − 12b¯q22a − 12b¯q2− = 0 ⇒ λ 1,2 (¯x) = ±−λmmA questo punto si può studiare la stabilità dei tre punti critici P 1 , P 2 e P 3 : λ 1,2 (P 1 ) = ± √ 2a/m, esistealmeno un autovalore reale e positivo, quindi P 1 è un punto di equilibrio instabile; λ 1,2 (P 2 ) = ±2i √ a/m,gli autovalori hanno parte reale zero, quindi non si può dire nulla sulla stabilità di P 2 ; λ 1,2 (P 3 ) =±2i √ a/m, gli autovalori hanno parte reale zero, quindi non si può dire nulla sulla stabilità di P 3 .Studio della stabilità sulla base della teoria di Liapunov. I punti P i , con i = 1, 2, 3, sono estremaliper la funzione h(q, p); si scrive la matrice hessiana:e quindi∂ 2 h∂q 2 = −∂f 2∂= −2a + 12bq2∂qH(q, p) =( −2a + 12bq200 1/m2 h∂p 2 = ∂f 1∂p = 1 m)e)∂ 2 h∂q∂q = ∂2 h∂p∂q = 0det (H(q, p)) = 12bq2 − 2amPoiché det (H(P 2,3 )) = 4a/m > 0 e H 1,1 (P 2,3 ) = 4a > 0, P 2,3 sono punti di minimo per la funzioneh(q, p). Si dimostra che la funzione w(q, p) = h(q, p) − h(P 2,3 ) è una funzione di Liapunov per P 2 e perP 3 , quindi usando il Teorema 2.30 si conclude che P 2,3 sono punti di equilibrio stabile.5. In primo luogo si osserva che h(q, p) è funzione pari sia in q sia in p, quindi ci si limita a studiarnele curve di livello nel quadrante q, p ≥ 0 (I quadrante); negli altri quadranti le curve verranno ottenuteper simmetria. Si osserva, inoltre, che P 1 è punto di equilibrio instabile e che h 1 := h(P 1 ) = 0: le curvedi livello più interessanti sono quelle passanti per i punti critici instabili quindi– considero la curva di livello Γ h1 := {(q, p) ∈ R 2 : h(q, p) = h 1 }. Nel quadrante q, p ≥ 0 l’equazionedi tale curva è p = q √ 2m(a − bq 2 ). La curva interseca l’asse p = 0 in q = 0 e q = √ a/b, non èdefinita all’esterno dell’intervallo [0, √ a/b] e è regolare in (0, √ a/b) (si veda la figura 2.16). SuΓ h1 giacciono tre orbite: due asintotiche a P 1 e una coincidente con il punto di equilibrio instabilex(t) = (0, 0).– Osservo che h(q, p) è nulla su Γ h1 e che h(P 2 ) = h(P 3 ) = −a 2 /4b < 0, quindi per la continuitàdella costante del moto h(q, p) le curve di livello relative a energie negative si troveranno tutteall’interno di Γ h1 , mentre quelle relative a energie positive si troveranno tutte all’esterno.– Considero e ∈ R tale che −a 2 /4b < e < 0: le regioni contenute all’interno di Γ h1 contengonociascuna un solo punto di equilibrio stabile, quindi le curve di livello relative a valori negatividell’energia sono curve chiuse, regolari che ruotano attorno al relativo punto di equilibrio stabile,si veda il Teorema 2.22. Su ciascuna componente connessa di ogni curva di livello giace un’orbitaperiodica attorno al relativo punto di equilibrio stabile.fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 50