Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

nella regione√2E := {(ξ, η) ∈ R 2 : 0 ≤ ξ ≤2 π, −ξ ≤ η ≤ ξ}∪{(ξ, η) ∈ R2 :con condizioni al bordo⎧u(ξ, ξ) = 4 π 2 ξ(2ξ − √ √22π) ∀ξ ∈ [0,2 π]⎪⎨u(ξ, ξ − √ 2π) = 4 π 2 ξ(√ 2π − 2ξ) ∀ξ ∈ [⎪⎩√2u(ξ, −ξ) = 0 ∀ξ ∈ [0,2 π]u(ξ, √ √22π − ξ) = 0 ∀ξ ∈ [2 π, √ 2π],√22 π ≤ ξ ≤ √ 2π, ξ− √ 2π ≤ η ≤ √ 2π−ξ}√22 π, √ 2π]riconducendosi al problema posto al punto i) mediante un opportuno cambiamento di variabili.iv) Si risolva l’equazione2 ∂2 v∂x 2 + 2 ∂2 v∂x∂y + ∂2 v∂y 2 = 0 (6.3)per la funzione v(x, y) nella regione E := {(x, y)R 2 : 0 ≤ x ≤ π, (x − π)/2 ≤ y ≤ x/2} con condizioni albordo ⎧⎪ ⎨⎪ ⎩u(0, y) = 8 π 2 y(2y + π) ∀y ∈ [− π 2 , 0]u(π, y) = 8 y(π − 2y)π2 ∀η ∈ [0, π/2]u(x, x/2) = u(x, (x − π)/2) = 0 ∀x ∈ [0, π]Suggerimento: si determini un cambiamento di variabili che porti in forma canonica l’equazione (6.3).6.5. Equazione di Laplace: dominio a simmetria cilindricaEsercizio 6.27. Si risolva l’equazione (6.2) nella regione D := [1, b] × [0, π] con condizioni di Diricheletu(ϱ, 0) = u(ϱ, π) = 0 per ogni ϱ ∈ [1, b], u(1, ϕ) = 0 e u(b, ϕ) = V per ogni ϕ ∈ [0, π].Soluzione 6.27: u(x, y) = (2V/π) ∑ n≥1 [(1 − cosnπ)/n(bn − b −n )](ϱ n − ϱ −n ) sin(nϕ).Esercizio 6.28. Condensatore cilindrico. Si risolva l’equazione (6.2) nella regione D := [a, b] × [−π, π]con condizioni u(a, ϕ) = 0 e u(b, ϕ) = V per ogni ϕ ∈ [0, π], u(ϱ, −π) = u(ϱ, π) e u ϕ (ϱ, −π) = u ϕ (ϱ, π)(condizioni periodiche sulla funzione e sulla derivata rispetto a ϕ nella coordinata ϕ).Soluzione 6.28: si risolva l’esercizio in due modi u(ϱ, ϕ) = R(ϱ) e u(ϱ, ϕ) = R(ϱ)Φ(ϕ), si ottiene u(ϱ, ϕ) =V log(ϱ/a)/ log(b/a).Esercizio 6.29. Si risolva l’equazione (6.2) nella regione D := [0, a]×[0, π] con condizioni u(a, ϕ) = f(ϕ)per ogni ϕ ∈ [0, π], con f ∈ C ∞ ([0, π]), e u ϕ (ϱ, 0) = u ϕ (ϱ, π) = 0 per ogni ϱ ∈ [0, a] (le pareti ϕ = 0 eϕ = π sono isolate termicamente).Soluzione 6.29: posto ψ 0 (ϕ) = 1/ √ π, ψ n (ϕ) = √ 2/π cos nϕ, per n ≥ 1, e 〈ψ n , f〉 = ∫ π0 dϕ f(ϕ)ψ n(ϕ) pern ≥ 0, la soluzione si scriveu(ϱ, ϕ) = 〈ψ 0 , f〉ψ 0 (ϕ) + ∑ n≥1( 1ϱ) n〈ψ n , f〉ψ n (ϕ) .fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 105