Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

mentre per l’unicità sarà necessario richiedere la lipschizianità del campo delle direzionif.Prima di enunciare i teoremi si richiamano alcune nozioni elementari di topologia e dianalisi in R n . Sia x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ R n , si definisce norma o modulo di x il numero realenon negativo |x| := (x 2 1 + · · · + x2 n )1/2 , con questa nozione si da allo spazio R n la strutturadi spazio metrico rispetto alla distanza euclidea |x − y| = [(x 1 − y 1 ) 2 + · · · + (x n − y n ) 2 ] 1/2 .Dato x ∈ R n e un numero reale positivo ε > 0, si definisce intorno sferico aperto (opalla aperta) di centro x e raggio ε l’insieme B ε (x) := {y ∈ R n : |y − x| < ε}; sidice, invece, intorno sferico chiuso (o palla chiusa) di centro x e raggio ε l’insieme¯B ε (x) := {y ∈ R n : |y − x| ≤ ε}. Sia I ⊂ R n si dice che I è aperto se e solo se perogni x ∈ I esiste ε > 0 tale che B ε (x) ⊂ I; si dice che I è chiuso se e solo se R n \ I èaperto. Si dice che I ⊂ R n è connesso se e solo se non esistono due sottoinsiemi I 1 , I 2 ⊂ Idisgiunti e non vuoti tali che: I 1 ∪ I 2 = I e per ogni i = 1, 2 e per ogni x ∈ I i esistar i > 0 tale che B ri (x) ∩ I ⊂ I i . Sia f : I ⊂ R n → R n definita sull’aperto I: si dice che fè continua in x ∈ I se e solo se per ogni ε > 0 esiste δ = δ(ε) > 0 tale se |y − x| < δallora |f(x) − f(y)| < ε; si dice che f è continua su I se e solo se è continua in ognipunto x ∈ I.Teorema 2.2 (Cauchy–Peano) Sia f : R n → R n continua nella palla chiusa ¯B β (x 0 )di centro x 0 ∈ R n e raggio β > 0. Allora il problema di Cauchy associato al sistemadinamico (2.2) con dato iniziale x(t 0 ) = x 0 , dove t 0 è un numero reale, ammette unasoluzione definita in un intorno chiuso di t 0 di raggio β/M, dove M := max x∈Bβ (x 0 ) f(x).Il teorema precedente assicura l’esistenza di una soluzione del problema di Cauchy sullabase della sola continuità del campo delle direzioni. Per avere informazioni sull’unicitàdella soluzione è necessario rafforzare le ipotesi sul campo f introducendo la condizionedi Lipschitz. Sia f : I ⊂ R n → R n continua sull’aperto connesso I ⊂ R. Si dice che f èdi Lipschitz (o lipschitziana) su I se e solo se esiste un numero reale L tale che|f(x) − f(y)| ≤ L|x − y| (2.3)uniformemente in x, y ∈ I.Si osserva che la costante L non dipende dalla scelta di x e di y nell’aperto I ma ingenerale dipenderà da I. Si noti, anche, che con la notazione adottata per la distanzain R n la condizione (2.3) appare identica alla sua controparte unidimensionale (1.12). Inrealtà scrivendo la (2.3) in modo esteso si ottiene[(f 1 (x) − f 1 (y)) 2 + · · · + (f n (x) − f n (y)) 2 ] 1/2 ≤ L[(x 1 − y 1 ) 2 + · · · + (x n − y n ) 2 ] 1/2 (2.4)Teorema 2.3 (Cauchy) Sia f : I ⊂ R n → R n continua nell’aperto connesso I ⊂ R. Se fè di Lipschtiz su I, allora il problema di Cauchy associato al sistema dinamico (2.2) condato iniziale x(t 0 ) = x 0 , dove t 0 è un numero reale, ammette una soluzione unica definitain un intorno di t 0 sufficientemente piccolo.fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 20