Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

In realtà lo studio è limitato alle equazioni del secondo ordine quasilineari, ovvero aquelle equazioni nella forma seguente:A(x, y) ∂2 u∂x +2B(x, y) ∂2 u2 ∂x∂y +C(x, uy)∂2 ∂y+D(x, y)∂u2∂x+E(x, y)∂u +F (x, y)u+G(x, y) = 0∂yove le funzioni A, B, C, D, E, F, G : Ω ⊂ R 2 → R 2 sono abbastanza regolari in Ω.6.1. Classificazione e forma canonicaEsercizio 6.1. Si determini il tipo dell’equazione y∂ 2 u/∂x 2 + ∂ 2 u/∂y 2 = 0 studiando gli autovalori dellamatrice parte principale.Soluzione 6.1: ellittica in {(x, y) ∈ R 2 : y > 0}, iperbolica in {(x, y) ∈ R 2 : y < 0}, parabolica in{(x, y) ∈ R 2 : y = 0}.Esercizio 6.2. Si determini il tipo dell’equazione y 2 ∂ 2 u/∂x 2 +2xy∂ 2 u/∂x∂y +x 2 ∂ 2 u/∂y 2 = 0 studiandogli autovalori della matrice parte principale.Soluzione 6.2: parabolica in R 2 .Esercizio 6.3. Si determini il tipo dell’equazione seguente: (x+a)∂ 2 u/∂x 2 +2xy∂ 2 u/∂x∂y−y 2 ∂ 2 u/∂y 2 =0 con a ∈ (−1/4, 1/4).Soluzione 6.3: ellittica in {(x, y) ∈ R 2 : y ≠ 0 e − (1 + √ 1 − 4a)/2 < x < (−1 + √ 1 − 4a)/2}, iperbolicain {(x, y) ∈ R 2 : y ≠ 0, x < −(1+ √ 1 − 4a)/2}∪{(x, y) ∈ R 2 : y ≠ 0, x > (−1+ √ 1 − 4a)/2}, parabolicaaltrove.Esercizio 6.4. Si dimostri che l’equazione seguente è parabolica in tutto R 2 e se ne scriva la formacanonica:a ∂2 u∂x 2 + 2a ∂2 u∂x∂y + ua∂2 ∂y 2 + b∂u ∂x + c∂u ∂y + u = 0con a ∈ R ∗ e b, c ∈ R.Esercizio 6.5. Si dimostri che l’equazione seguente è iperbolica in tutto R 2 e se ne scriva la formacanonica:a ∂2 u∂x 2 + 4a ∂2 u∂x∂y + ua∂2 ∂y 2 + b∂u ∂x + c∂u ∂y + u = 0con a ∈ R ∗ e b, c ∈ R.Esercizio 6.6. Si dimostri che l’equazione seguente è ellittica in tutto R 2 e se ne scriva la forma canonica:con a ∈ R ∗ e b, c ∈ R.2a ∂2 u∂x 2 + 2a ∂2 u∂x∂y + a∂2 u∂y 2 + b∂u ∂x + c∂u ∂y + u = 0Esercizio 6.7. Si studi il tipo delle seguenti equazioni differenziali quasilineari e, qualora possibile, sene determini la forma canonica:1. u xx + xu yy = 0; 2. u xx + yu yy = 0;3. u xx + yu yy + 1 2 u y = 0; 4. yu xx + xu yy = 0;5. xu xx + yu yy = 0; 6. u xx + xyu yy = 0;7. u xx sign y + 2u xy + u yy = 0; 8. u xx + 2u xy + (1 − sign y)u yy = 0;9. y 2 u xx − x 2 u yy = 0; 10. x 2 u xx − y 2 u yy = 0;11. x 2 u xx + y 2 u yy = 0; 12. y 2 u xx + x 2 u yy = 0;13. y 2 u xx + 2xyu xy + x 2 u yy = 0; 14. x 2 u xx + 2xyu xy + y 2 u yy = 0.fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 101