Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

– asintoticamente stabile se e solo se è stabile e inoltre esiste un intorno sfericoI ′ ⊂ I di x e tale che per ogni x 0 ∈ I ′ la soluzione ϕ : [t 0 , +∞) → R n del problema diCauchy associato al sistema dinamico (2.6) con dato iniziale x(t 0 ) = x 0 , con t 0 ∈ Rarbitrario, è tale che lim t→+∞ ϕ(t) = x e ;– instabile se e solo se non è stabile.È utile osservare che le definizioni appena date sono le stesse del caso unidimensionalea patto di sostituire gli intorni aperti con le palle aperte. Si definisce, infine, bacinod’attrazione del punto fisso x e asintoticamente stabile il sottoinsieme dello spazio dellefasi costituito da tutti i punti x 0 tali che l’unico moto ϕ : [t 0 , +∞) → R n con dato inizialex 0 tende asintoticamente a x e , cioè lim t→+∞ ϕ(t) = x e .2.3. Sistemi dinamici planariUn sistema dinamico planare e un sistema dinamico nella forma (2.6) nel caso n = 2. Peri sistemi dinamici planari è possibile dare uno studio qualitativo molto dettagliato delleorbite che però richiede molta accortezza e profondità di analisi. In questo paragrafo cisi limita a fornire alcuni metodi grafici che permettono di intuire l’andamento delle lineedi fase nel piano e a discutere alcuni esempi molto semplici che permettono di metterein luce i diversi comportamenti che si possono verificare nel piano nelle vicinanze di unpunto critico. In particolare si vedrà che i punti fissi nel piano possono essere suddivisi innodi stabili, nodi instabili, selle e centri.Esempio 2.6. Siano f : J ⊂ R n → R n e g : H ⊂ R m → R m allora il sistema dinamico{ ẋ = f(x)ẏ = g(y)nelle funzioni incognite x : R → R n e y : R → R m è detto prodotto diretto dei sistemi dinamiciẋ = f(x) e ẏ = g(y). Un esempio semplice di sistema dinamico nella forma di prodotto diretto è il(2.7)sistema dinamico {ẋ1 = x 1ẋ 2 = kx 2(2.8)con k ∈ R e x 1 , x 2 : R → R le due funzioni incognite.Esempio 2.7. Sulla base di argomenti euristici si determina il ritratto di fase del sistema dinamico (2.8)nel caso k = 0. Il campo delle direzioni è dato da f(x 1 , x 2 ) = (x 1 , 0). Per determinare i punti fissi sidevono determinare i punti in cui il campo delle direzioni è nullo:f(x 1 , x 2 ) = (0, 0) ⇒ (x 1 , 0) = (0, 0) ⇒ x 1 = 0Il sistema dinamico ha infiniti punti fissi, tutti i punti dell’asse x 2 . Per disegnare il ritratto di fase è utiletracciare il vettore tangente alle linee di fase in alcuni punti dello spazio delle fasi; si osserva che il campof è orizzontale in ogni punto non appartenente all’asse x 2 . Inoltre il vettore punta verso destra nei puntidel semipiano x 1 > 0 e verso sinistra nei punti del semipiano x 1 < 0; si veda il diagramma a sinistranella figura 2.5. Dal ritratto di fase emerge che i punti fissi sono tutti instabili e che vi sono due tipi diorbite di fase: i punti di fissi e le semirette orizzontali; le semirette uscenti da punti nel semipiano x 1 > 0puntano verso destra, mentre quelle uscenti da punti nel semipiano x 1 < 0 puntano verso sinistra.In questo caso molto semplice è possibile verificare le conclusioni euristiche sul ritratto di fase integrandoesplicitamente il sistema dinamico. Per separazione delle variabili si ottiene che il problemafismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 23