Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

degli assi cartesiani dello spazio delle fasi. Dal punto di vista fisico ciascun punto fisso èuna rotazione permanente, cioè una rotazione del corpo rigido attorno a uno dei suoi assicentrali.Ω 3✻✒✲ ⊙ ⊗ ❅❘✻ ✲⊗ ⊙ ❄❅■✛ ✠Ω 2Ω 3✻❅■ ✛ ✠⊗✻⊙✲⊙ ⊗ ❄✒✲❅❘Ω 1Fig. 2.20. A sinistra: il campo delle direzioni delle equazioni di Eulero (2.41) su un piano che intersecaortogonalmente l’asse Ω 1 in un punto in cui Ω 1 > 0; i simboli ⊙ e ⊗ indicano rispettivamente campouscente ed entrante. A destra: il campo delle direzioni delle equazioni di Eulero (2.41) su un piano cheinterseca ortogonalmente l’asse Ω 2 in un punto in cui Ω 2 > 0.Al fine di studiare la stabilità dei punti fissi è utile tracciare il campo delle direzioniin un intorno dei punti fissi. Nel grafico a sinistra in figura 2.20 è disegnato il camponei punti che giacciono in un piano che interseca ortogonalmente l’asse Ω 1 in un puntoin cui Ω 1 > 0. La struttura del campo delle direzioni suggerisce che i punti fissi giacentisull’asse Ω 1 siano stabili; risultati analoghi si ottengono se si studia il campo f in unintorno dei punti fissi giacenti sull’asse Ω 3 . Nel grafico a destra è riportato il campo delledirezioni in punti di un piano che interseca ortogonalmente l’asse Ω 2 in un punto in cuiΩ 2 > 0. La struttura del campo delle direzioni suggerisce che i punti fissi giacenti sull’asseΩ 2 siano instabili. In conclusione queste prime osservazioni suggeriscono che le rotazionipermanenti attorno all’asse principale con momento d’inerzia intermedio sono instabili,mentre le altre sono stabili.Per ottenere risultati rigorosi si prova a usare il metodo della linearizzazione. Sidevono calcolare le derivate parziali delle componenti del campo delle direzioni rispettoalle componenti della velocità angolare; così facendo nel generico punto (Ω 1 , Ω 2 , Ω 3 ) siottiene la matrice jacobiana⎛A(Ω 1 , Ω 2 , Ω 3 ) = ⎝0 Ω 3 (I 2 − I 3 )/I 1 Ω 2 (I 2 − I 3 )/I 1Ω 3 (I 3 − I 1 )/I 2 0 Ω 1 (I 3 − I 1 )/I 2Ω 2 (I 1 − I 2 )/I 3 Ω 1 (I 1 − I 2 )/I 3 0Rotazione permanente attorno all’asse ε 1 : determino gli autovalori della matrice associataal sistema linearizzato in un intorno del punto fisso⎛A(a, 0, 0) = ⎝0 0 00 0 a(I 3 − I 1 )/I 20 a(I 1 − I 2 )/I 3 0⎞[⎠ ⇒ λ⎞⎠λ 2 − a 2 I 1 − I 2 I 3 − I]1I 3 I 2Dal momento che I 1 − I 2 < 0 e I 3 − I 1 > 0 si ha che i tre autovalori hanno tutti partereale nulla e quindi non si può concludere nulla sulla stabilità del punto fisso sulla base= 0fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 61