Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

soluzione x : J → R dell’equazione differenziale (1.1) in un intorno J di t 0 tale chex(t 0 ) = x 0 , x (1) (t 0 ) = x (1)0 , . . . , x (n−1) (t 0 ) = x (n−1)0Uno dei problemi più interessanti della teoria delle equazioni differenziali è quello relativoall’esistenza e all’unicità della soluzione dei problemi di Cauchy.Esempio 1.3. Si consideri l’equazione differenziale del primo ordine ẋ = t; tale equzione è nella forma(1.1) con n = 1 e F (t, x, ẋ) = −t + ẋ. È immediato osservare che l’insieme di tutte le soluzioni di taleequazione è l’insieme di tutte le primitive della funzione f(t) = t. Pertanto il suo integrale generale èx(c; t) = t 2 /2 + c. Si può ora determinare la soluzione che soddisfa alla condizione di Cauchy x(1) = 3;si hax(1) = 3 ⇒ 1 2 + c = 3 ⇒ c = 5 2 ⇒ x(t) = 1 2 t2 + 5 2Un’equazione differenziale ordinaria in forma normale di ordine n ∈ N ∗ nella funzioneincognita x : t ∈ R → x(t) ∈ R è un’equazione nella formadove f : R × R n → R è una funzione assegnata.x (n) = f(t, x, x (1) , . . . , x (n−1) ) (1.2)Esempio 1.4. Un’equazione differenziale ordinaria del primo ordine in forma normale con f(x, t) =g(x)h(t) è detta a variabili separabili; la soluzione del problema di Cauchy x(t 0 ) = x 0 ∈ R può esseredeterminata con un’integrazione ordinaria:∫ t∫1 dx tt 0g(x(s)) ds ds = h(s)ds ⇒t 0∫ x(t)x 0∫dx tg(x) =t 0h(s)ds (1.3)Un’equazione differenziale ordinaria autonoma di ordine n ∈ N ∗ nella funzione incognitax : t ∈ R → x(t) ∈ R è un’equazione nella formax (n) = f(x, x (1) , . . . , x (n−1) ) (1.4)dove f : R n → R è una funzione assegnata.Se la variabile t viene interpretata come il tempo, allora l’equazione (1.4) può esserepensata come un’equazione che descrive l’evoluzione di un sistema il cui stato è individuatodalla variabile x. Per questo motivo equazioni del tipo (1.4) sono dette anche equazionievolutive. Il fatto che l’equazione sia autonoma assicura che il sistema evolva liberamentesenza risentire dell’effetto di agenti esterni.Esempio 1.5. Le equazioni differenziali considerate negli Esempi 1.1 e 1.2 descrivono rispettivamente leoscillazioni libere di un sistema e quelle forzate. La prima equazione è autonoma mentre la seconda nonlo è.Esercizio 1.1. Si risolva il problema ẋ = x con dato iniziale x(0) = 1.Soluzione: l’equazione è a variabili separabili con g(x) = x e h(t) = 1. Pertanto∫ dxx = ∫dt ⇒ log |x(t)| = t + cost ⇒ |x(t)| = e cost e t = Ce t con C > 0fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 2