Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

Esercizio 2.9. Dati due campi vettoriali f e g continui sull’aperto connesso I ⊂ R n esiste un terzo campovettoriale continuo h tale che L f L g − L g L f = L h ; dove l’uguaglianza va intesa in senso operatoriale, cioèè vera qualunque sia la funzione scalare cui si applicano gli operatori differenziali al primo e al secondomembro. Posto h := [f, g], si dimostrino le seguenti tre proprietà– [f, g + λh] = [f, g] + λ[f, h] per ogni λ ∈ R;– [f, g] + [g, f] = 0;– [[f, g], h] + [[g, h], f] + [[h, f], g] = 0 (identità di Jacobi).Esercizio 2.10. Uno spazio vettoriale sul quale sia definita un’operazione binaria che gode delle proprietàenunciate nell’Esercizio 2.9 costituisce un’algebra di Lie. Si dimostri che lo spazio vettorialetridimensionale è un’algebra di Lie rispetto all’operazione di prodotto vettoriale.Si dimostri che lospazio delle matrici quadrate di ordine n è un’algebra di Lie rispetto all’operazione di commutazione[A, B] = AB − BA.Esercizio 2.11. Si dimostri, costruendo opportuni esempi, che la derivata di Lie rispetto a campi vettorialidiversi non è commutativa, cioè che in generale L f L g u − L g L f u ≠ 0 dove u : I ⊂ R n → R èdifferenziabile sull’aperto connesso I e f, g : I ⊂ R n → R n sono due generici campi vettoriali continui suI.Soluzione: per esempio nel caso n = 1 se si considera f(x) = 1 e g(x) = x, si ha L f L g u = u + xu ′′ eL g L f u = xu ′′ .2.5. Stabilità dei punti fissiNei paragrafi precedenti si è discussa l’importanza della nozione di stabilità e si sono vistianche molti esempi nei quali è stato possibile studiare la stabilità dei punti fissi sullabase del ritratto di fase. Ovviamente questo approccio porta a buoni risultati soltanto nelcaso bidimensionale, dove, soprattuto se si ha a disposizione un integrale primo, si riescea disegnare in modo molto dettagliato il ritratto di fase. Per lo studio della stabilità inproblemi in dimensione maggiore di due è evidente l’importanza di teoremi che permettanodi stabilire il comportamento delle orbite nelle vicinanze di un punto critico del sistemadinamico (2.6) sulla base di proprietà analitiche del campo delle direzioni f.In questo paragrafo verranno discussi due diversi approcci: quello basato sullo studiodi un sistema dinamico lineare ottenuto approssimando il sistema dinamico di partenzain un intorno di un punto fisso e quello basato sulla teoria di Liapunov.Si consideri il sistema dinamico (2.6) e si supponga che il campo delle direzioni f :I ⊂ R n → R n sia di classe C 1 (I). Sia x e un punto fisso di (2.6) e si consideri la matricejacobiana A di tipo n × n e di elementi A i,j := ∂f i /∂f j (x e ) per ogni i, j = 1, . . . , n. Si dicesistema linearizzato associato al sistema dinamico (2.6) nell’intorno del punto fisso x eil sistema dinamico lineareẋ = A(x − x e ) (2.21)dove il prodotto al secondo membro va inteso come il prodotto righe per colonne dellamatrice A per il vettore colonna x − x e . Poiché f è di classe C 1 (I) si ha|f(x) − A(x − x e )|lim= 0x→x e |x − x e |fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 38