Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

✲✲✛✛P 3p✻✲✲✛✛P 2✲qFig. 2.16. Curve di livello per il potenziale quartico.– Sia e > 0: le curve di livello h(q, p) = e le disegno per continuità.– I versi sulle curve di livello vengono determinati osservando che ˙q = p/m è positivo nel semipianop > 0 e negativo in quello p < 0.Dalla discussione precedente si ha che l’insieme dei dati iniziali che generano orbite periodiche è tuttolo spazio delle fasi a eccezione dei punti di equilibrio e dei punti della curva di livello con energia zero;ovvero Π = R 2 \ (Γ h1 ∪ {P 2 , P 3 }).6. Si consideri l’orbita generata dal dato iniziale x 0 = ( √ a/4b, 0). Poiché √ a/4b < √ a/2b < √ a/bil punto x 0 = ( √ a/4b, 0) si trova all’interno della regione delimitata dalla curva di livello passanteper l’origine, quindi esso origina un’orbita periodica. Alternativamente si può osservare che h(x 0 ) =−3a 2 /16b > h(P 2 ) = −a 2 /4b implica x 0 ∈ Π. Determino i punti di inversione dell’orbita periodicarisolvendo l’equazione h(q, 0) = −3a 2 /16b. Oltre all’ovvia soluzione q 0 = √ a/4b si trova q 1 = √ 3a/4b.Pertanto, osservato che h(q, p) = −3a 2 /16b implica p = √ 2m[−bq 4 + aq 2 − 3a 2 /16b] si ha√dqdt = 1 []m p = 2m −bq 4 + aq 2 − 3a2 ⇒16b∫ T/20∫ √ 3a/4bdqdt = √ √a/4b 2m [ ]−bq 4 + aq 2 − 3a216be quindi∫ √ 3a/4bT = 2 √a/4b√dq2m [ ]−bq 4 + aq 2 − 3a216bEsercizio 2.13. Si consideri il problema di un pendolo di massa m = 1 e lunghezza l = 1 oscillante inun piano vincolato a ruotare con velocità angolare costante ω > 0 attorno a un asse. Il moto è descrittodall’equazione di Newton:¨θ = ω 2 sin θ cos θ − g sin θ (2.35)ove θ è l’angolo tra il pendolo e l’asse di rotazione. Si risponda ai seguenti quesiti: 1. si riconduca la(2.35) a un sistema dinamico planare. 2. Si determini una costante del moto. 3. Si determino i puntidi equilibrio e 4. se ne studi la loro stabilità. 5. Si disegnino le curve di livello e si determini l’insiemedei dati iniziali che danno luogo a orbite periodiche. 6. Si studi il caso in cui venga introdotto una forzaresistiva −α ˙θ con α > 0. In particolare si determinino eventuali punti di equilibrio asintoticamente stabilie se ne stimi il bacino d’attrazione.Soluzione: studio il problema nell’intervallo θ ∈ [0, π]. Per θ < 0 si ottengono gli stessi risultati perchél’equazione del moto è simmetrica nello scambio θ → −θ.1. L’equazione (2.35) può essere scritta nella forma (2.6) introducendo le due nuove variabili q = θ ep = ˙θ; infatti{ { { q = θ ˙q =p = ˙θ ⇒ ˙θ˙q = pṗ = ¨θ = ω 2 sin θ cos θ − g sin θ⇒ ṗ = ω 2 (2.36)sin q cos q − g sin qfismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 51