Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

x 2✻✲✻ ✲✛ ✻❄✛ ❄✲x1✻✲x 2✲x 1✲✻x 2✲x 1x 2✻✗✔ ✲✻✻x✖✕ 1x 2✻✬✩✲✓✏ ✲ ✲✒✑ x 1✫✪Fig. 2.9. A sinistra il campo vettoriale in alcuni punti dello spazio delle fasi per il sistema dinamicodell’Esempio 2.12, negli altri grafici sono riportati i possibili scenari con il campo delle direzioni disegnatoa sinistra.Esempio 2.13. Le equazioni di Lotka–Volterra, ovvero il sistema preda–predatore. Le equazioni diLotka–Volterra descrivono l’evoluzione di un sistema costituito da due specie animali: le prede e i predatori;le equazioni furono introdotte dal matematico Volterra nel 1926 per studiare l’evoluzione di duespecie di pesci nel mare Adriatico. Si denota con x 1 (t) ≥ 0 il numero di prede e con x 2 (t) ≥ 0 il numerodi predatori all’istante t e si assume che– in assenza di predatori la popolazione delle prede evolve secondo la legge di Malthus;– le prede costituiscono l’unico alimento dei predatori;– a ogni incontro il predatore mangia la preda e il numero di incontri in un piccolo intervallo di tempo[t, t + ∆t] è proporzionale al prodotto x 1 (t)x 2 (t) del numero di prede per il numero di predatoriall’istante t e all’ampiezza dell’intervallo ∆t considerato;– in assenza di prede i predatori muoiono con tasso lineare.Sulla base di queste ipotesi si ha chex 1 (t + ∆t) − x 1 (t) = ax 1 (t)∆t − bx 1 (t)x 2 (t)∆t e x 2 (t + ∆t) − x 2 (t) = cx 1 (t)x 2 (t)∆t − dx 2 (t)∆tdove a, b, c, d sono costanti reali positive. Passando al limite per ∆t → 0 e normalizzando opportunamentele costanti si ottiene il sistema dinamico{ẋ1 = x 1 (1 − x 2 )(2.10)x˙2 = αx 2 (x 1 − 1)dove α > 0. In definitiva il sistema preda–predatore è stato scritto come un sistema dinamico (2.6) conspazio delle fasi il quadrante x 1 , x 2 ≥ 0 e campo delle direzioni f(x 1 , x 2 ) = (x 1 (1 − x 2 ), αx 2 (x 1 − 1)).Risolvendo l’equazione f(x 1 , x 2 ) = (0, 0) si ottengono i due punti fissi (0, 0) e (1, 1). Per fare unoschizzo del ritratto di fase si procede come al solito e si disegna il campo vettoriale in qualche puntodel piano delle fasi, si veda la figura 2.10. In questo caso non è possibile intuire il comportamento dellelinee di fase, perché attorno al punto fisso (1, 1) ci si trova di fronte ai quattro possibili comportamentidescritti nella figura 2.9 relativa al problema dell’oscillatore armonico. Per quanto riguarda la stabilitàdei punti fissi, si può senza dubbio dire che (0, 0) è instabile, infatti se il sistema viene preparato in unostato iniziale con x 1 = 0 e x 2 > 0, l’evoluzione tenderà a far allontanare il sistema dall’origine lungo l’assex 1 (le prede presenti all’inizio si riproducono e la popolazione cresce con legge di Malthus). Per quantoriguarda il punto fisso (1, 1) non si può dire nulla.In conclusione questo esempio mostra che per poter determinare il ritratto di fase di un sistemadinamico in dimensione maggiore o uguale a due non è sufficiente lo studio del campo delle direzionif, come accadeva nel caso unidimensionale, è necessario quindi introdurre strumenti più raffinati e piùpotenti; in questo senso sarà di grande importanza la nozione di integrale primo (si veda il paragrafo 2.4).fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 27