Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

e si studia la matrice associata al sistema linearizzato( ) 0 0A =⇒ det(A − λ1I) = λ 2 = 0 ⇒ λ 1 = λ 2 = 00 0Il Teorema 2.23 non permette di trarre conclusioni a proposito della stabilità dell’origine.Si cerca, allora, una funzione di Liapunov; tipicamente conviene provare con funzioni di secondogrado contenenti solo le potenze di ordine 2 (paraboloide), cioè w(x, y) = ax 2 + by 2 , con a, b > 0; conquesta scelta, infatti, si è sicuri che l’origine sia un punto di minimo relativo proprio per w. AlloraL f w(x, y) = (2ax, 2by) · (−x 3 + xy, −y 3 − x 2 ) = −2ax 4 + 2ax 2 y − 2by 4 − 2bx 2 yIn questo caso se si sceglie a = b > 0 il gioco è fatto, infatti:L f w(x, y) = −2ax 4 + 2ax 2 y − 2ay 4 − 2ax 2 y = −2a(x 4 + y 4 )È immediato osservare che w è una funzione di Liapunov in senso stretto per il punto fisso (0, 0) e quindi,in virtù del Teorema 2.30, (0, 0) è un punto fisso asintoticamente stabile.Esempio 2.34. Moto armonico semplice. Si considera l’equazione differenziale lineare del secondo ordineche descrive il moto armonico semplice di una palla di massa m sottoposta all’azione di una molla dicostante elastica κ:m¨z + κz = 0 (2.25)con m, κ ∈ R + .In primo lujogo si osserva che l’equazione (2.25) può essere scritta nella forma (2.6) introducendo ledue nuove variabili q = z e p = mż, rispettivamente la posizione e l’impulso della palla. Infatti{ q = zp = mż⇒ { ˙q = żṗ = m¨z = −κz⇒{ ˙q = p/mṗ = −κq(2.26)Il sistema (2.26) è un sistema dinamico nella forma (2.6) con x = (q, p) ∈ R 2 e campo delle direzionif(q, p) = (p/m, −κq).Si scrive ora l’energia meccanica totale che, come è stato già dimostrato nell’Esempio 2.16, è unintegrale primo. Si osserva che detta u(q) = κq 2 /2, si ha du/dq = κq, allora l’energia meccanica totale èh(q, p) = 12m p2 + 1 2 κq2 (2.27)I punti di equilibrio soddisfano il sistema di equazioni f(q, p) = 0, ovvero{ {f1 (q, p) = 0 p/m = 0f 2 (q, p) = 0 ⇒ ⇒ P = (0, 0)−κq = 0è l’unico punto di equilibrio.Per studiare la stabilità del punto fisso si linearizza il sistema in un intorno dell’origine. In realtà ilsistema (2.26) è lineare e può essere scritto nella forma ẋ = Ax con A la matrice 2 × 2 reale( )0 1/mA =−κ 0Si scrive, quindi, l’equazione secolare e si determinano gli autovalori della matrice A:( )−λ 1/mdet(A − λ1I) = det= λ 2 + κ √ κ−κ −λm = 0 ⇒ λ 1,2 = ±imGli autovalori di A sono complessi coniugati con parte reale nulla. Il Teorema 2.23 non permette diconcludere nulla sulla stabilità dell’origine, ma, ricordando che il sistema sotto esame è un sistema lineare,fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 45