Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

Per il sistema dinamico così ottenuto valgono le tre ipotesi del Teorema 2.30 e quindiil punto fisso x e è asintoticamente stabile. Se x e è asintoticamente stabile per dx/dτ =−f(x), allora sarà instabile per il sistema dinamico di partenza.Teorema 2.31 □Una funzione che soddisfi ai primi due requisiti nell’enunciato del teorema precedenteè detta di Liapunov per il punto fisso x e , se soddisfa anche all’ulteriore terzo requisito èdetta di Liapunov in senso stretto. È immediato che il teorema precedente permette didimostrare la stabilità di un punto fisso che sia un minimo relativo proprio di un integraleprimo u, infatti l’essere minimo relativo proprio implica che u soddisfa alla prima ipotesidel teorema, il fatto che u è un integrale primo implica che è soddisfatta anche la secondaipotesi.Esempio 2.32. Si discutono alcuni sistemi dinamici studiati negli esempi precedenti alla luce del teoremadi stabilità di Liapunov. È facile dimostrare che (1, 1) è punto fisso stabile del sistema di Lotka–Volterra(2.10): l’integrale primo ha un minimo realtivo proprio in (0, 0), ma u(0, 0) ≠ 0; ciò non è grave, èsufficiente considerare w(x, y) = u(x, y) − u(0, 0) = α(x − log x) + y − log y − α − 1. Ovviamente w ha unminimo relativo proprio in (1, 1), in tale punto assume valore 0 e inoltre L f w(x, y) = 0 perché anche w èun integrale primo del sistema dinamico di Lotka–volterra; in conclusione w è una funzione di Liapunove quindi (1, 1) è un punto critico stabile.È immediato dimostrare che (0, 0) è punto fisso stabile del sistema dinamico (2.16) usando l’integraleprimo come funzione di Liapunov. Per quanto riguarda i punti fissi del tipo (¯x, 0), con ¯x > 0, si può usarecome funzione di Liapunov il paraboloide centrato nel punto fisso w(x, y) := (x − ¯x) 2 + y 2 ; si verificafacilmente che le ipotesi del Teorema 2.30 sono soddisfatte, in particolareL f w(x, y) = ∇w(x, y) · f(x, y) = 2(x − ¯x)e x y 2 − 2ye x xy = −2¯xy 2 e x ≤ 0∀x, y ∈ Rdove si è usato che ¯x è positivo; è un utile esercizio tentare di capire per quale motivo la derivata di Liedel paraboloide rispetto al campo f del sistema dinamico (2.16) risulta minore o uguale a zero, si ricordiche le orbite di fase del sistema dinamico sono archi di circonferenza che tendono all’asse x da sotto e dasopra l’asse.Si considera, ora, il sistema dinamico (2.18) studiato in dettaglio nell’Esempio 2.19; l’origine (0, 0) èun punto fisso del sistema dinamico, ma l’integrale primo u(x, y) = (x 2 − 1) 2 − 1 ha un punto di massimorelativo proprio in (0, 0) e u(0, 0) = 1, quindi non è una funzione di Liapunov. Si osserva, però, che seu è integrale primo allora sarà integrale primo anche w(x, y) := −[u(x, y) − 1], cioè L f w(x, y) = 0, dovef è il campo delle direzioni del sistema dinamico in questione. D’altro canto w ha un minimo relativoproprio in (0, 0) e w(0, 0) = 0; in coclusione w è una funzione di Liapunov e quindi (0, 0) è stabile.Esempio 2.33. Si considera il sistema dinamico planare{ ẋ = −x 3 + xyẏ = −y 3 − x 2 (2.24)Il sistema dinamico è nella forma (2.6) con campo delle direzioni f(x, y) = (−x 3 + xy, −y 3 − x 2 ). Sideterminano i punti fissi e se ne studia la stabilità. Punti fissi:{ x(−x 2 + y) = 0f(x, y) = 0 ⇒y 3 + x 2 ⇒ x = 0 e y = 0= 0Quindi l’origine è l’unico punto fisso. Per studiarne la stabilità si considera dapprima sistema linearizzatonell’intorno dell’origine; si calcolano le derivate del campo delle direzioni∂f 1∂x = −3x2 + y,∂f 1∂y = x, ∂f 2∂x = −2x2 ,∂f 2∂y = 3y2fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 44