Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

Esempio 2.9. Sulla base di argomenti euristici si determina il ritratto di fase del sistema dinamico (2.8)nel caso k = 2. Il campo delle direzioni è dato da f(x 1 , x 2 ) = (x 1 , 2x 2 ). Procedendo come nell’Esempio 2.8si trova che il sistema dinamico ha il solo punto fisso 0 = (0, 0). Per disegnare il ritratto di fase è utiletracciare il vettore tangente alle linee di fase in alcuni punti dello spazio delle fasi: si osserva che il campof è orizzontale nei punti dell’asse x 1 e verticale in quelli dell’asse x 2 . Nei punti non appartenenti agliassi il campo punta in verso opposto all’origine ma non ha la struttura centrale vista nell’Esempio 2.8; siveda il diagramma a sinistra nella figura 2.7. Dal ritratto di fase emerge che il punto fisso 0 è instabilee che vi sono tre tipi di orbite di fase: il punto fisso, le semirette uscenti dall’origine e giacenti sugliassi cartesiani, le curve uscenti da punti non appartenenti agli assi. Un punto fisso nelle cui vicinanze ilritratto di fase abbia la struttura nel grafico di destra in figura 2.7 è detto nodo instabile.In questo caso molto semplice è possibile verificare le conclusioni euristiche sul ritratto di fase integrandoesplicitamente il sistema dinamico. Per separazione delle variabili si ottiene che il problemadi Cauchy con dato iniziale x(0) = x 0 = (x 0,1 , x 0,2 ) ha la soluzione unica x(t) = (x 1 (t), x 2 (t)) =(x 0,1 exp{t}, x 0,2 exp{2t}). Al dato iniziale (0, 0) corrisponde il punto fisso, ai dati iniziali nella forma(x 0,1 , 0) con x 0,1 ≠ 0 e (0, x 0,2 ) con x 0,2 ≠ 0 corrispondono le semirette giacenti sugli assi cartesiani,ai dati iniziali nella forma (x 0,1 , x 0,2 ) con x 0,1 , x 0,2 > 0 corrisponde il ramo di parabola di equazionealgebrica x 2 = x 0,2 [x 1 /x 0,1 ] 2 giacente nel primo quadrante. In corrispondenza delle altre tre possibilescelte dei segni delle coordinate del dato iniziale (x 0,1 > 0 e x 0,2 < 0, x 0,1 < 0 e x 0,2 < 0, x 0,1 < 0 ex 0,2 > 0) si hanno gli archi di parabola giacenti negli altri tre quadranti.È importante osservare chel’intera parabola di equazione algebrica x 2 = x 0,2 [x 1 /x 0,1 ] 2 , per esempio con x 0,2 > 0, non è una linea difase del sistema dinamico, ma una curva del piano delle fasi su cui giacciono tre linee di fase: il ramo diparabola nel primo quadrante, il punto fisso nell’origine e il ramo di parabola nel secondo quadrante. Èinteressante ripetere lo studio nel caso k = 1/2, si veda l’Esercizio 2.1.❆❑✛ ❆✁✁☛x 2✻✻✄ ✄✄✗ ✁✕ ✁✒✲❄ ❆ ❆❯✲x 1❆❑✛✁☛x 2✻✻❄✁✕✲❆❯✲x 1Fig. 2.7. A sinistra il campo vettoriale in alcuni punti dello spazio delle fasi per il sistema dinamicodell’Esempio 2.9, a destra l’andamento qualitativo delle linee di fase.Esempio 2.10. Sulla base di argomenti euristici si determina il ritratto di fase del sistema dinamico(2.8) nel caso k = −1. Il campo delle direzioni è dato da f(x 1 , x 2 ) = (x 1 , −x 2 ). Procedendo comenell’Esempio 2.8 si trova che il sistema dinamico ha il solo punto fisso 0 = (0, 0). Per disegnare il ritrattodi fase è utile tracciare il vettore tangente alle linee di fase in alcuni punti dello spazio delle fasi: il campof ha l’andamento rappresentato nel diagramma a sinistra nella figura 2.8. Dal ritratto di fase emerge cheil punto fisso 0 è instabile e che vi sono quattro tipi di orbite di fase: il punto fisso, le semirette uscentidall’origine e giacenti sull’asse x 1 , le semirette entranti nell’origine e giacenti sull’asse x 2 , le curve uscentida punti non appartenenti agli assi e dall’andamento asintotico. Un punto fisso nelle cui vicinanze ilritratto di fase abbia la struttura nel grafico di destra in figura 2.8 è detto sella. In analogia con quantofismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 25