Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

More documents

Recommendations

Info

integrante, tale che il campo vettoriale (µν 1 , µν 2 ) è un differenziale esatto, dove ν è ilcampo vettoriale continuo ortogonale in ogni punto a f. Per fare ciò è sufficiente trovareuna qualsiasi funzione µ a valori reali per la quale sia soddisfatta la condizione di chiusura∂∂x 1(µ(x 1 , x 2 )ν 2 (x 1 , x 2 )) =∂∂x 2(µ(x 1 , x 2 )ν 1 (x 1 , x 2 )) (2.15)È utile sottolineare che µ non è un campo vettoriale ma una funzione definita sull’apertoI e a valori reali, cioè è una funzione scalare. Una volta determinata µ si risolvono leequazioni (2.14) e si determina l’integrale primo u. Se il sistema dinamico ammette unintegrale primo che soddisfa alle (2.14) con µ = 1, allora si dice che il sistema dinamicoè hamiltoniano e l’integrale primo u soddisfacente le (2.14) viene detto hamiltonianadel sistema.Nell’esempio seguente viene discusso in modo dettagliato un sistema dinamico planarefacendo ricorso a tutti gli strumenti introdotti fino a questo punto. In particolare emergeràl’utilità enorme degli integrali primi nello studio qualitativo del ritratto di fase. Come si ègià osservato in precedenza il ritratto di fase non fornisce alcuna informazione sui tempi dipercorrenza lungo le diverse orbite; nell’esempio che segue si vedrà che se l’integrale primoè abbastanza semplice, cioè se l’equazione che definisce le curve di livello può essere risoltarispetto ad almeno una delle due variabili, allora i tempi di percorrenza possono esserericondotti al calcolo di un integrale definito. Nello studio dei sistemi dinamici planari sipreferirà spesso la notazione (x, y), in sostituzione di (x 1 , x 2 ), per il generico punto di R 2che rappresenta lo stato del sistema.Esempio 2.18. Si considera il sistema dinamico planare{ ẋ = e x y 2ẏ = −e x xy(2.16)Il sistema dinamico è nella forma (2.6) con campo delle f(x, y) = (exp{x}y 2 , − exp{x}xy). Punti fissi:f = 0 ⇒ (e x y 2 , −e x xy) = (0, 0) ⇒ y = 0 e x arbitrarioSono punti fissi tutti e soli i punti dell’asse x. L’andamento qualitativo del campo delle direzioni f è riportatonel diagramma a sinistra nella figura 2.12. Per capire più a fondo la struttura del ritratto di fase sicerca un integrale primo del sistema dinamico: si considera il campo ν(x, y) = (− exp{x}xy, − exp{x}y 2 )ortogonale in ogni punto al campo delle direzioni e, ricordando che l’integrale primo deve avere gradienteparallelo a ν in ogni punto, deve esistere una funzione µ : R 2 → R tale che ∇u(x, y) = µ(x, y)ν(x, y),ovvero∂u∂x = −ex xyµ(x, y)e∂u∂y = −ex y 2 µ(x, y) (2.17)Si deve determinare µ in modo che il campo differenziale costituito dalle due funzioni al secondo membrodelle equazioni precedenti sia chiuso:∂∂y [−ex xyµ(x, y)] = ∂∂x [−ex y 2 µ(x, y)] ⇒ ∂∂y [x] = ∂∂x [y] ⇒ 0 = 0dove si è scelto µ(x, y) = −1/(y exp{x}); allora l’integrale primo è soluzione delle equazioni (2.17) conquesta scelta di µ. Integrando le (2.17) seguendo la procedura adottata nell’Esempio 2.19 si ha u(x, y) =fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 32
(x 2 + y 2 )/2. Si può verificare che i calcoli eseguiti sono corretti verificando che la derivata di Lie dellafunzione u rispetto al campo f è nulla:∇u · f = (x, y) · (e x y 2 , −e x xy) = e x xy 2 − e x xy 2 = 0Le curve di livello sono le curve di equazione u(x, y) = a con a ∈ R reale; si vede subito che hannosenso solo per a ≥ 0: per a = 0 si ottiene l’origine e per a > 0 la circonferenza di centro nell’origine eraggio (2a) 1/2 . Per a = 0 la curva di livello coincide con un punto fisso, mentre per a > 0 su ciascunacurva di livello giacciono quattro linee di fase: due punti fissi e due semicirconferenze aperte. Il ritrattodi fase è riportato nel grafico a destra in figura 2.12. Natura dei punti fissi: applicando la definizione distabilità si ha che i punti fissi (¯x, 0) con ¯x < 0 sono instabili, mentre quelli con ¯x ≥ 0 sono stabili. Perquanto riguarda l’origine, per ogni ε > 0 tutti i moti con dato iniziale nella palla aperta di centro (0, 0)e raggio δ(ε) = ε giacciono completamente nella palla di centro B ε (0, 0); quindi la definizione di stabilitàè verificata con δ(ε) = ε. Per i punti fissi ¯x > 0 è necessario prendere un δ(ε) così piccolo che tutte lecirconferenze di centro nell’origine passanti per B δ (¯x, 0) intersecano il semiasse positivo delle x in puntiche giacciono in B ε (¯x, 0). A proposito della natura dei punti fissi è interessante osservare che tutti i puntifissi stabili non sono asintoticamente stabili, si veda a tal proposito anche il Teorema 2.21.Le curve di livello u(x, y) = a sono equazioni algebriche di secondo grado che possono essere risolterispetto a entrambe le variabili; per esempio il ramo positivo della curva di livello corrispondente ad aha equazione y = √ 2a − x 2 . Questa proprietà permette di esprimere come integrale definito il tempo dipercorrenza lungo l’orbita di fase, per esempio il tempo T (b) che il sistema preparato in (0, √ 2a) impiegaper giungere in (b, √ 2a − b 2 ), con b ∈ (0, √ 2a) può essere scritto come segue:ẋ = e x y 2 ⇒ ẋ = e x (2a − x 2 ) ⇒∫ b0∫dxT (b)e x (2a − x 2 = dt ⇒ T (b) =0∫ b0dxe x (2a − x 2 )Il tempo T (b) può essere stimato son i metodi introdotti nel paragrafo 1.4; si osservi che T (b) divergepositivamente per b → √ 2a e ciò è consistente con il fatto che il sistema si avvicina a un punto fissostabile.y✻y✲✻✒ ❅❘ ✲ x ✲ x❅❘✒✲Fig. 2.12. A sinistra: il campo vettoriale in alcuni punti dello spazio delle fasi per il sistema dinamicodell’Esempio 2.18. A destra: il ritratto di fase; i versi sono indicati su due sole linee di fase, gli altripossono essere determinati per continuità del campo f.Esempio 2.19. Si considera il sistema dinamico planare{ ẋ = 2yẏ = 4x(x 2 − 1)(2.18)Il sistema dinamico è nella forma (2.6) con campo delle direzioni f(x, y) = (2y, 4x(x 2 − 1)). Punti fissi:f = 0 ⇒ (2y, 4x(x 2 − 1)) = (0, 0) ⇒ y = 0 e x = 0, −1, +1Quindi esistono i tre punti fissi P 1 = (−1, 0), P 2 = (0, 0) e P 3 = (+1, 0). L’andamento qualitativo delcampo delle direzioni f è riportato nel diagramma a sinistra nella figura 2.13. Per capire più a fondofismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 33
Page 1 and 2: Esercizi e appunti per il corso di
Page 3 and 4: ⇒ x(t) = Ce tcon C ∈ RImpondend
Page 5 and 6: ✻x✟✻✟ ✟ ✟ ✟x✻x 0x
Page 7 and 8: viene scelto vicino a x 2 il sistem
Page 9 and 10: Esercizio 1.4. Supponendo uniforme
Page 11 and 12: Questo è parzialmente vero nel cas
Page 13 and 14: L’integrale, infatti, ha senso pe
Page 15 and 16: sensato, perché si ricorda che le
Page 17 and 18: dimostrare che il tempo t 1 − t 0
Page 19 and 20: con f : R n → R una funzione asse
Page 21 and 22: Come nel caso unidimensionale verif
Page 23 and 24: - asintoticamente stabile se e solo
Page 25 and 26: Esempio 2.9. Sulla base di argoment
Page 27 and 28: x 2✻✲✻ ✲✛ ✻❄✛ ❄
Page 29 and 30: Per esempio nel punto ¯x = (0, 1)
Page 31: livello chiusa, questa osservazione
Page 35 and 36: - Per a = 1, la curva di livello pa
Page 37 and 38: Teorema 2.21 Si consideri il sistem
Page 39 and 40: ciò fa intuire che in qualche sens
Page 41 and 42: Teorema 2.28 (Stabilità dei sistem
Page 43 and 44: La palla B δ (x e ) è proprio que
Page 45 and 46: e si studia la matrice associata al
Page 47 and 48: −ω 2 sin θ, dove ω = √ g/l
Page 49 and 50: Da questa proprietà segue che w è
Page 51 and 52: ✲✲✛✛P 3p✻✲✲✛✛P 2
Page 53 and 54: −πp✲✻✲✲ ✲✛0 π q✛
Page 55 and 56: è soddisfatta, perché L f ′w(q,
Page 57 and 58: y✻✛− √ 2✲✲ ✲✲✛
Page 59 and 60: Esercizio 2.16. Per i seguenti sist
Page 61 and 62: degli assi cartesiani dello spazio
Page 63 and 64: Dal momento che I 1 < I 2 < I 3 si
Page 65 and 66: Il problema (3.1) può essere ricon
Page 67 and 68: dell’analisi avendo come riferime
Page 69 and 70: Γ e = {(q, p) ∈ R 2 : q e 1 ≤
Page 71 and 72: Osservato che dall’equazione dell
Page 73 and 74: assunto nel minimo, cioè a zero. I
Page 75 and 76: La tesi, allora, segue in virtù de
Page 77 and 78: u(q)✻q 3 q 4 q 1 q 2✲ qu 0p
Page 79 and 80: p✻q0(q − q 0 ) 1/2 p (q − q 0
Page 81 and 82: Si può osservare che ˙θ ha segno
Page 83 and 84:
Troncando lo sviluppo delle potenze
Page 85 and 86:
deve specificare il valore della ca
Page 87 and 88:
valore della soluzione sull’asse
Page 89 and 90:
x ∈ [a, b], u x (a, t) = u 1,a (t
Page 91 and 92:
Inoltre si è usata l’identità n
Page 93 and 94:
con q = (x, y, z) ∈ R 3 , t ∈ R
Page 95 and 96:
Le equazioni del moto possono esser
Page 97 and 98:
Sostituendo queste espressioni nell
Page 99 and 100:
1. u x + u y = u;2. 2u x − 3u y =
Page 101 and 102:
In realtà lo studio è limitato al
Page 103 and 104:
3. u(x, y) = log √ x 2 + y 2 , (x
Page 105 and 106:
nella regione√2E := {(ξ, η) ∈
Page 107 and 108:
ammette l’unica soluzioneu(x, t)
Page 109 and 110:
Esercizio 6.43. Una corda semi-illi
Page 111 and 112:
Esercizio 6.50. Come l’Esercizio
Page 113 and 114:
Esercizio 6.59. Per effetto di una
Page 115 and 116:
Esercizio 6.66. Si risolva l’equa
Page 117 and 118:
4. u 0 (x) = exp{−α|x|} con α
Page 119:
6.3. Equazione di Laplace: funzioni
show all

Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?