Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

y✻✛− √ 2✲✲ ✲✲✛−1 +1+ √ 2✛✲xFig. 2.19. Curve di livello per il sistema dinamico (2.38). I versi non indicati si deducono per continuità.– Per −5/2 < a < −1, le curve di livello sono costituite da quattro componenti connesse, giacentirispettivamente nelle regioni A 2 := {(x, y) ∈ R 2 : 0 < x < √ 2, (x 2 −1) 2 < y < 1}, A 3 := {(x, y) ∈R 2 : − √ 2 < x < 0, (x 2 − 1) 2 < y < 1}, A 5 := {(x, y) ∈ R 2 : x < − √ 2, 1 < y < (x 2 − 1) 2 } eA 4 := {(x, y) ∈ R 2 : x > + √ 2, 1 < y < (x 2 − 1) 2 }. I due insiemi A 2 e A 3 contengono ciascunoun solo punto di equilibrio stabile, quindi le curve di livello ivi giacenti sono curve chiuse, regolariche ruotano attorno al relativo punto di equilibrio stabile, si veda il Teorema 2.22. Su ciascunacomponente connessa di ogni curva di livello giace un’orbita, le orbite con dato iniziale nelle regioniA 2 e A 3 sono periodiche attorno al relativo punto di equilibrio stabile, si veda la figura 2.19.– Per a > −1 le curve di livello u(x, y) = a sono quelle disegnate per continuità in figura e giavccionorispettivamente in A 1,− := {(x, y) ∈ R 2 : x < − √ 2 e y < 1, − √ 2 < x < √ 2 e y < (x 2 − 1) 2 , x >+ √ 2 e y < 1} e A 1,+ := {(x, y) ∈ R 2 : x < − √ 2 e y > (x 2 − 1) 2 , − √ 2 < x < √ 2 e y > 1, x >+ √ 2 e y > (x 2 − 1) 2 }. Ogni curva è costituita da due componenti connesse aperte su ciascunadelle quali giace una sola linea di fase.– Per a < −5/2 le curve di livello u(x, y) = a sono quelle disegnate per continuità in figura egiacciono rispettivamente in A 4 e A 5 . Ogni curva è costituita da due componenti connesse apertesu ciascuna delle quali giace una sola linea di fase.I versi sulla separatrice vengono determinati ricordando che su un tratto di curva di livello che noninterseca alcun punto di equilibrio il verso non cambia e osservando che f 1 (1, 1) = 1 > 0, f 1 (1, 0) = −1 0. Sulle altre curve di livello i versi possono essere trovati percontinuità. Dalla discussione precedente si ha che l’insieme dei dati iniziali che generano orbite periodicheè Π = D 2 ∪ D 3 .5. Si consideri l’orbita generata dal dato iniziale (x 0 , y 0 ) = (1, 3/4). Poiché (x 0 , y 0 ) ∈ D 2 si ha chel’orbita uscente è periodica. Per poter scrivere il periodo dell’orbita è necessario scrivere l’equazionedella curva di livello in forma esplicita, cioè si deve ricavare y in funzione di x o viceversa; ponendou(x, y) = u(x 0 , y 0 ) si trovay 2 − [ (x 2 − 1) 2 + 1 ] y + x 2 (x 2 − 1) = − 1916 ⇒ y2 − [ (x 2 − 1) 2 + 1 ] y + x 2 (x 2 − 1) + 1 = − 3 16 ⇒(y − 1) [ y − (x 2 − 1) 2] = − 3 16 ⇒ (x2 − 1) 2 = y +316(y − 1)Dalla precedente si può ricavare la variabile x in funzione della variabile y semplicemente eseguendo delleradici quadrate. Bisogna, però controllare che i radicandi siano positivi: il secondo membro è positivo see solo se 16y 2 − 16y + 3 ≤ 0, ovvero se 1/4 ≤ y ≤ 3/4. Da questa osservazione si deduce che l’orbita ècompresa tra le due rette y = 1/4 e y = 3/4 e le tocca nei punti (x 0 , y 0 ) = (1, 3/4) e (x 1 , y 1 ) = (1, 1/4).Quindi per i valori di y permessi si ha:x 2 − 1 = ±√y +316(y − 1)fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 57