Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

Esercizio 6.59. Per effetto di una sollecitazione esterna periodica agente sull’elemento di ascissa x 0 ∈(0, π) di una corda di lunghezza π, l’equazione che descrive le vibrazioni della corda si scrive∂ 2 u∂x 2 (x, t) − 1 c 2 ∂ 2 u∂t 2 (x, t) = αδ(x − x 0) sin(4ct)con α ∈ R ∗ +. Si supponga che gli estremi della corda siano fissi, u(0, t) = u(π, t) = 0 per ogni t ≥ 0, eche la corda sia inizialmente a riposo, ovvero u(x, 0) = u t (x, 0) = 0 per ogni x ∈ [0, π]. Si risponda alleseguenti domande:1. si determini la funzione u(x, t) che descrive le vibrazioni della corda;2. si dica se esistono valori di x 0 ∈ (0, π) per i quali non si osserva il fenomeno della risonanza.Esercizio 6.60. Un estremo di una sbarra di lunghezza l, densità ϱ e modulo di Young E è libero el’altro è fissato rigidamente. Si determino le vibrazioni longitudinali per condizioni iniziali di Cauchyarbitrarie.Esercizio 6.61. Un estremo di una sbarra di lunghezza l, densità ϱ e modulo di Young E è libero el’altro è fissato elasticamente. Si determino le vibrazioni longitudinali per condizioni iniziali di Cauchyarbitrarie.Soluzione 6.61: u(x, t) = ∑ n≥1 [a n cos(λ n ct)+b n sin(λ n ct)] cos(λ n x) dove si sono indicate con λ n le radicipositive dell’equazione λ tan(λl) = h. Si osserva che λ n e cos(λ n x) sono gli autovalori e le autofunzionidel seguente problema di Sturm–Liouville{ X ′′ (x) + λ 2 X(x) = 0 0 ≤ x ≤ lX ′ (0) = 0, X ′ (l) + hX(l) = 0Esercizio 6.62. Una corda tesa di densità di massa e di tensione unitarie e di lunghezza π è vincolata aoscillare in un piano verticale con estremi fissi alla medesima quota. Si determini il profilo delle piccoleoscillazioni della corda sapendo che all’istante iniziale tutti i suoi elementi hanno velocità nulla e che ilprofilo della corda, rispetto alla quota cui sono fissati gli etremi, è descritto dalla funzione f(x) = 1 per x ∈[x 0 −π/4, x 0 +π/4] e f(x) = 0 per x ∈ [0, x 0 −π/4)∪(x 0 +π/4, π], dove x 0 è un punto fissato dell’intervallo(π/4, 3π/4). Si discutano le caratteristiche dello spettro delle armoniche eccitate al variare del parametrox 0 in (π/4, 3π/4). Suggerimento: si ricorda che cos α − cos β = −2 sin[(α + β)/2] sin[(α − β)/2].Esercizio 6.63. Le vibrazioni longitudinali in una sbarra di lunghezza π sono descritte dall’equazionedi d’Alambert u xx − u tt = x sin(2t). Si determini u sapendo che all’istante iniziale la sbarra è a riposo eche uno dei due estremi è libero mentre l’altro è fisso, cioè u x (0, t) = 0 e u(π, t) = 0 per ogni t ≥ 0.6.9. Equazione delle onde: membrana rettangolareLe vibrazioni di una membrana rettangolare di lati a, b ∈ R ∗ + sono descritte dall’equazionedi d’Alambert in due dimensioni spaziali, ovvero nella regione D := D sp × R + ove D sp :={(x, y) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b}. Condizioni al bordo sensate sono le seguenti:⎧⎨⎩u(x, y, 0) = u 0 (x, y), ∂u(x,y, 0) = v ∂t 0(x, y) ∀(x, y) ∈ D spu(0, y, t) = u(a, y, t) = 0 ∀y ∈ [0, b], ∀t ∈ R + (6.9)u(x, 0, t) = u(x, b, t) = 0 ∀x ∈ [0, a], ∀t ∈ R +fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 113