Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

con f : R n → R una funzione assegnata e i t 0 , x 1,0 , . . . , x n,0 numeri reali asssegnati. Siponex 1 = x, x 2 = x (1) , . . . , x n = x (n−1)allora la condizione iniziale diventainoltrex 1 (t 0 ) = x 1,0 , x 2 (t 0 ) = x 2,0 , . . . , x n (t 0 ) = x n,0⎧⎪⎨x (n) = f(x, x (1) , . . . , x (n−1) ) ⇒⎪⎩ẋ 1 = x (1) = x 2ẋ 2 = x (2) = x 3.ẋ n = x (n) = f(x 1 , . . . , x n )In conclusione il problema di Cauchy per l’equazione differenziale autonoma di ordine nè stato ridotto a un problema di Cauchy per un sistema dinamico nella forma (2.1) conle seguenti funzioni al secondo membro:f 1 (x 1 , . . . , x n ) = x 2 , f 2 (x 1 , . . . , x n ) = x 3 , . . . , f n (x 1 , . . . , x n ) = f(x 1 , x 2 , . . . , x n )Il problema di Cauchy per il sistema dinamico (2.1) può essere posto in una formamolto compatta se si introduce la seguente notazione vettoriale. Si pone x : t ∈ R →x(t) = (x 1 (t), . . . , x n (t)) ∈ R n per la funzione incognita, x 0 = (x 1,0 , . . . , x n,0 ) ∈ R n per ildato iniziale ef : (x 1 , . . . , x n ) ∈ R n → f(x 1 , . . . , x n ) = (f(x 1 , . . . , x n ), . . . , f n (x 1 , . . . , x n )) ∈ R nper il campo delle direzioni; allora il problema di Cauchy per il sistema dinamico (2.1) siscrive{ ẋ = f(x)x(t 0 ) = x 0(2.2)dove t 0 è un numero reale assegnato. Con questa notazione il problema n–dimensionaleviene scritto in una forma identica a quella tipica del problema di Cauchy per il sistemadinamico unidimensionale (1.5); ma ovviamente si tratta soltanto di un trucco.Esempio 2.1. Il moto di una particella di massa m lungo l’asse y sottoposta all’azione di una forza g(y)è la soluzione del problema di Cauchy per l’equazione differenziale del secondo ordine ÿ = (1/m)g condato iniziale y(0) = y 0 e ẏ(0) = ẏ 0 . Se si pone q = y per la posizione e p = mẏ per la quantità di moto sihaÿ = 1 { ˙q = ẏ = (1/m)pm g ⇒ ⇒ ẋ = f(x)ṗ = mÿ = gdove si è posto x = (q, p) per la funzione incognita e f = ((1/m)p, g) per il campo delle direzioni. Conquesta notazione la condizione di Cauchy si scrive x(0) = (q(0), p(0)) = (y(0), mẏ(0)) = (y 0 , mẏ 0 ).Lo studio dei sistemi dinamici n–dimensionali si basa sui fondamentali teoremi diesistenza e di unicità che in queste note verranno soltanto enunciati. L’esistenza puòessere stabilita sulla base della continuità del campo delle direzioni in un insieme chiuso,fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 19