Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

Le equazioni del moto possono essere risolte in termini dei modi normali, cioè per mezzodella rappresentazione di Fourier delle funzioni u j (t); ciascun modo può essere eccitatoindipendentemente e se l’energia viene assegnata all’istante iniziale a un solo modo, essarimarrà concentrata su questo modo durante tutta l’evoluzione del sistema. Alla base dellaMeccanica Statistica c’è l’idea che i sistemi sufficientemente complessi sono caratterizzatida uno stato di equilibrio in cui l’energia si ridistribuisce uniformemente tra tutti i modinormali indipendentemente da come sia stata introdotta nel sistema all’istante iniziale.In [3] Fermi, Pasta e Ulam si posero il problema di studiare l’equipartizione dell’energianel contesto della catena di oscillatori supponendo che l’interazione tra i gradi di libertàprimi vicini sia non lineare, per esempio con energia potenzialeU = 1 n−12 k ∑(u j+1 − u j ) 2 + 1 n−13 α ∑(u j+1 − u j ) 3 + 1 n−14 β ∑(u j+1 − u j ) 4 (4.24)j=0j=0con α, β > 0. Sorprendentemente l’analisi numerica del problema mostrò che eccitandoil solo primo modo di oscillazione, dopo una sorta di equipartizione a tempi piccolidell’energia tra i diversi modi normali, a tempi sufficientemente grandi l’energia cominciavaa fluire verso il primo modo fino al ripristinarsi quasi integrale della condizioneiniziale.Il problema FPU è stato ampiamente studiato negli ultimi anni, ed è ancora oggettodi studi molto interessanti, un’aspetto molto importante è quello del comportamento delsistema nel limite del continuo [9]. È naturale chiedersi quale sia l’equazione che sostituiscequella di d’Alambert quando si considera la catena di oscillatori con interazione descrittadalla (4.24). Si considera il caso α > 0 e β = 0, procedendo come nel paragrafo 4.7 siottengono le equazioni del motomü i = k[(u i+1 − u i ) − (u i − u i−1 )] + α[(u i+1 − u i ) 2 − (u i − u i−1 ) 2 ] (4.25)per ogni i = 1, . . . , n − 1. Per passare al limite del continuo è utile riscrivere l’ultimotermine della forma seguente:[(u i+1 − u i ) 2 − (u i − u i−1 ) 2 ] = [(u i+1 − u i ) + (u i − u i−1 )][(u i+1 − u i ) − (u i − u i−1 )]Allora è lecita l’interpretazionej=01l [(u 3 i+1 − u i ) 2 − (u i − u i−1 ) 2 ] → 2 ∂u∂x (x, ut)∂2 (x, t)∂x2 e quindi il limite continuo di (4.25) è dato dall’equazione alle derivate parzialiϱ ∂2 u∂t 2 = [τ + α ′ ∂u∂x] ∂ 2 u∂x 2 ⇒ 1 c 2 ∂ 2 u∂t − ∂2 u ∂u ∂ 2 u= 2 α′′ (4.26)∂x2 ∂x ∂x 2dove i parametri del modello discreto sono stati riscalati come ϱ = m/l, τ = kl e α ′ =2αl 2 , e dove si è posto c = √ τ/ϱ e α ′′ = α ′ /τ. In conclusione si è ottenuto un’equazionedel tipo di d’Alambert con l’aggiunta di un termine non lineare.fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 95