Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

ammette l’unica soluzioneu(x, t) = 1 2 [u 0(x − ct) + u 0 (x + ct)] + 1 2c∫ x+ctx−ctv 0 (s) ds (6.6)detta soluzione di d’Alambert.Nel caso della corda semi–limitata con estremo fisso nell’origine e con profili inizialiu 0 (x) e v 0 (x) dati sulla semiretta x ≥ 0, la soluzione di d’Alambert continua a esserevalida purché u 0 e v 0 vengano prolungati per disparità a tutto R.Esercizio 6.34. Si ricavi la soluzione di d’Alambert (6.6) per il problema di Cauchy (6.5).Esercizio 6.35. Si scriva l’unica soluzione del problema di Cauchy (6.5) nei casi seguenti:1. u 0 (x) = 2 sin x cos x, v 0 (x) = cos x;2. u 0 (x) = x sin x, v 0 (x) = cos 2x;3. u 0 (x) = 1/(1 + x 2 ), v 0 (x) = e x ;4. u 0 (x) = e −x , v 0 (x) = 1/(1 + x 2 );5. u 0 (x) = cos(πx/2), v 0 (x) = sinh(ax) con a ∈ R;6. u 0 (x) = sin 3x, v 0 (x) = sin 2x − sin x.Soluzione 6.35: soluzione dei primi due problemi: 1. u(x, t) = sin 2x cos(4ct) + (1/2c) cos x sin(2ct); 2.u(x, t) = x sin x cos(3ct) + 3ct cos x sin(3ct) + (1/6c) cos 2x sin(6ct).Esercizio 6.36. La corda illimitata è eccitata dalla condizione iniziale u 0 (x) in figura e v 0 (x) = 0. Lecostanti reali h e a sono positive.u 0✻Si disegni il profilo ottenuto come unica soluzione deldel problema di Cauchy (6.5) agli istanti di tempo✁ ✁✁✁❆ h❆ ❆❆−a +a✲xper k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.t k = k a 4cEsercizio 6.37. La corda illimitata è eccitata dalla condizione iniziale sulla velocità v 0 (x) = 0 e dalprofilo iniziale{ h(a 2 − x 2 )/a 2 |x| ≤ au 0 (x) =0 |x| ≥ acon a, h ≥ 0. Si determini il profilo al tempo t ≥ 0 e la legge del moto dell’elemento della corda di ascissax ∈ R.Soluzione 6.37: vanno distinti due casi. Nel caso t ≥ a/c si ha⎧0 −∞ < x < −ct − a⎪⎨ h[a 2 − (x + ct) 2 ]/(2a 2 ) −ct − a ≤ x < −ct + au(x, t) = 0 −ct + a ≤ x < ct − ah[a⎪⎩2 − (x − ct) 2 ]/(2a 2 ) ct − a ≤ x < ct + a0 ct + a ≤ x < +∞fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 107