Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

ove nell’ultima implicazione si è utilizzata la parità della funzione coseno. Per stimare l’integrale possiamoriscriverlo utilizzando le formule parametriche cos x = (1 − tan 2 (x/2))/(1 + tan 2 (x/2)):T = 2 √ ∫ π/2dx2 √ = 2 √ ∫√π/21 + tan 2 ∫(x/2)12 dx0 cos x 0 1 − tan 2 (x/2) = 4√ ds2 √0 (1 + s2 )(1 − s 2 )con l’ultimo integrale ottenuto per mezzo della sostituzione s = tan(x/2). A questo punto si può osservareche nell’intervallo 0 ≤ s ≤ 1 si ha 1 ≤ 1 + s 2 ≤ 2, quindi si ottengono le stimeT − := 4 √ 2∫ 10ds√2(1 − s2 ) ≤ T ≤ 4√ 2∫ 10ds√1 − s 2 =: T +e quindi T − = 2π e T + = 2 √ 2π. Infine, posto T M := (T − + T + )/2 = π(1 + √ 2) e ∆T := T + − T − =2π( √ 2 − 1) si ha l’errore relativo:∆TT M= 2π(√ 2 − 1)π( √ 2 + 1) = 0.343È possibile stimare dall’alto il periodo in modo alternativo agendo sull’integrale di partenza: nell’intervallo0 ≤ x ≤ π/2 si ha cos x ≥ 1 − 2x/π. Si ottiene la nuova stimaT ′ + = 2 √ 2∫ π/20dx√ = 2 π √∫ 1ds 2 √ = 2π √ 21 − 2x/π 2 0 1 − sSi ha T ′ + = √ 2T + , la nuova stima è decisamente peggiore della precedente.Esercizio 3.3. Si consideri il sistema meccanico unidimensionale ẍ + du/dx = 0 con u(x) di classe C 1su R e il sistema dinamico equivalente ottenuto mediante l’introduzione della variabili q = x e p = ẋ.1. Sia q 0 ∈ R tale che la curva di livello con energia u 0 := u(q 0 ) è chiusa, regolare e definita in [q 0 , q 1 ]per q 1 > q 0 opportuno. Si studi il comportamento della curva di livello in un intorno di q 0 . 2. Sia q 0 unpunto di massimo relativo per u(q). Si studi il comportamento della separatrice in un intorno di q 0 (siveda anche la discussione del sistema (3.2)).Soluzione: 1. dal principio di conservazione dell’energia si ha che l’equazione dell’arco di curva di livellonel semipiano p ≥ 0 è p = √ 2[u 0 − u(q)]. Pongo P (q) = 2[u 0 − u(q)] e osservo che– P ′ (q) = −2u ′ (q).- ] P (q 0 ) = 0 e P ′ (q 0 ) ≠ 0,infatti u(q 0 ) = u 0 e q 0 non è un punto estremale di u(q). Scrivo lo sviluppo in serie di Taylor di P (q) inun intorno destro di q 0 :P (q) = P (q 0 ) + P ′ (q 0 )(q − q 0 ) + 1 2! P ′′ (q 0 )(q − q 0 ) 2 + O((q − q 0 ) 3 ) (3.9)Poiché la derivata prima della funzione P (q) non si annulla in q 0 posso arrestare lo sviluppo al primoordine e scrivere[P (q) = P ′ (q 0 )(q − q 0 ) + O((q − q 0 ) 2 ) = P ′ (q 0 )(q − q 0 ) 1 + O((q − q 0) 2 ])P ′ (q 0 )(q − q 0 )Quindi per la curva di livello ottengo:= P ′ (q 0 )(q − q 0 ) [1 + O(q − q 0 )]p = √ P (q) = √ P ′ (q 0 )(q − q 0 ) [1 + O(q − q 0 )] = √ P ′ (q 0 )(q − q 0 ) 1/2 [1 + O(q − q 0 )]Conclusione: la curva di livello in un intorno piccolo di q 0 è ben approssimata dalla radice quadrata diq − q 0 (si veda la Fig 3.24(a)), in particolare ha tangente verticale.2. Lo studio procede come al punto precedente, ma in questo caso P ′ (q 0 ) = 0 perché q 0 è un puntodi massimo per il potenziale u(q). Allora non ha senso arrestare lo sviluppo (3.9) al primo ordine, devoconsiderare le derivate successive. Alcuni casi:fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 78