Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

6.2. Alcuni semplici esempi preliminariEsercizio 6.8. Si risolva l’equazione differenziale∂ 2 u∂x 2 = 0 in D := {(x, y) ∈ R2 : 0 < x < 1, −∞ < y < +∞}con condizioni di Dirichelet u(0, y) = y 2 e u(1, y) = 1.Soluzione 6.8: u(x, y) = x(1 − y 2 ) + y 2 .Esercizio 6.9. Si risolva l’equazione differenziale∂ 2 u∂x 2 = 6xy in D := {(x, y) ∈ R2 : 0 < x < 1, −∞ < y < +∞}con condizioni di miste Dirichelet–Neumann u(0, y) = y e ∂u/∂x(1, y) = 0.Soluzione 6.9: u(x, y) = x 3 y − 3xy + y.Esercizio 6.10. Si risolva l’equazione differenziale∂ 2 u∂x∂y = 2x in D := {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0}con condizioni di Dirichelet u(0, y) = 0 e u(x, 0) = x 2 .Soluzione 6.10: u(x, y) = x 2 (1 + y).6.3. Equazione di Laplace: funzioni armonicheSi dice che una funzione u : R 2 → R 2 è armonica se e solo se è soluzione dell’equazione diLaplace∂ 2 u∂x (x, y) + ∂2 u(x, y) = 0 (6.2)2 ∂y2 ovvero ∆u ≡ ∇ 2 u = 0. Applicazioni fisiche: il potenziale elettrostatico e la temperaturadi equilibrio in un solido sono regolate dall’equazione di Laplace.Esercizio 6.11. Sia (x 0 , y 0 ) ∈ R 2 , r ∈ R ∗ + , u : R2 → R e γ la curva regolare con supporto {(x, y) ∈ R 2 :(x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 = r 2 } percorsa una sola volta in senso antiorario; si calcoli l’integrale ∫ γu dl di ulungo la curva γ nei seguenti casi:1. u(x, y) = xy, (x 0 , y 0 ) = (1, 2), r = 4;2. u(x, y) = e x cos y, (x 0 , y 0 ) = (0, 0), r = 1;3. u(x, y) = log √ x 2 + y 2 , (x 0 , y 0 ) = (1, 0), r = 1/2;4. u(x, y) = x + y, (x 0 , y 0 ) = (1, −1), r = 5.Suggerimento: si usino le proprietà delle funzioni armoniche.Esercizio 6.12. Sia (x 0 , y 0 ) ∈ R 2 , r ∈ R ∗ + , u : R2 → R e B ≡ B ((x 0 , y 0 ), r) := {(x, y) ∈ R 2 :(x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 < r 2 }; si calcoli l’integrale ∫ ∫ Bu(x, y) dx dy di u esteso alla regione B nei seguenticasi:1. u(x, y) = xy, (x 0 , y 0 ) = (1, 2), r = 4;2. u(x, y) = e x cos y, (x 0 , y 0 ) = (0, 0), r = 1;fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 102