Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

u(q)✻q 3 q 4 q 1 q 2✲ qu 0p✻✲✛✲✛✲ qFig. 3.23. Grafico dell’energia potenziale e curve di livello. I versi di percorrenza sono gli stessi su tuttele curve di livello.4. L’insieme dei dati iniziali che generano orbite periodiche èΠ = {(q 0 , p 0 ) ∈ R 2 : u 0 < h(q 0 , p 0 ) = 1 2 (p 0) 2 + u(q 0 ) < 0}5. Considero il punto P 0 = ( √ 2, 0) e osservo che h(P 0 ) = 0 2 /2+u( √ 2) = −1/8. Pertanto i risultati delpunto precedente e l’osservazione u 0 < −1/8 < 0 implicano che il punto P 0 origina un’orbita periodica.Risolvendo l’equazione u(q) = −1/8 si ottengono i punti di inversione del moto ˆq 1 = √ √5 − 1 < ˆq2 = √ 2.Infatti, u(q) = −1/8 è equivalente a q 6 − 8q 2 + 8 = 0; da quest’ultima si ottiene (q − 2) 2 (q 4 + 2q 2 − 4) = 0utilizzando il metodo di Ruffini oppure osservando cheq 6 − 8q 2 + 8 = q 6 − 8q 2 + 16 − 8 = q 6 − 8 − 8(q 2 − 2) = (q 2 − 2)(q 4 + 2q 2 + 4) − 8(q 2 − 2)= (q 2 − 2)(q 4 + 2q 2 + 4 − 8) = (q 2 − 2)(q 4 + 2q 2 − 4)Infine si ottengono le soluzioni ˆq 1 e ˆq 2 . Dall’equazione dq/dt = √ 2[e − u(q)] si ottiene∫ T/20dt =∫ √ 2√ √5−1√ [2dq1q 4 − 1q 6 − 1 8] ⇒ T = 4 ∫ √ 2√ √5−1q 3 dq√−q6 + 8q 2 − 8Esercizio 3.2. Si consideri il sistema meccanico unidimensionaleẍ + dudx (x) = 0 con u(x) = 1 − cos x e − π 2 ≤ x ≤ π 2Si dimostra che se la particella ha energia totale e = 1 allora esiste un’orbita periodica con punti diinversione x 1 = −π/2 e x 2 = π/2: se ne scriva il periodo come integrale definito e se ne dia una stima.Soluzione: dal principio di conservazione dell’energia si ottiene ẋ = ± √ 2[e − u(x)]. Pertanto, lungol’orbita con energia e = 1, si ha ẋ = ± √ 2 cos x. Integrando la precedente si ottiene∫ T/20dt =∫ π/2−π/2dx√ ⇒ T 2 cos x 2 = √ 1 ∫ π/22−π/2dx√ ⇒ T = 2 √ ∫ π/22cos x 0dx√ cos x(3.8)fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 77