Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

valore della soluzione sull’asse t, cioè su una curva regolare del piano. È ovvio che l’asse tha un valore particolare nel contesto specifico dell’equazione di continuità, ma in generalequesto tipo di problema può essere posto assegnando il dato iniziale su una curva regolarequalsiasi del piano. Più precisamente, considerata l’equazione differenziale alle derivateparziali del primo ordine(F x, y, u, ∂u∂x , ∂u )= 0 (4.5)∂ydove F : R 5 → R è una funzione assegnata abbastanza regolare, considerata una curvaregolare ϕ = (ϕ 1 (s), ϕ 2 (s)), con s ∈ I e I ⊂ R intervallo, considerata una funzione f : I →R, si dice che u : D ⊂ R 2 → R è soluzione del problema di Cauchy associato a (4.5)con dato iniziale f assegnato sulla curva regolare ϕ se e solo se u soddisfa (4.5) nell’apertoconnesso D contenente il supporto della curva ϕ e inoltre u(ϕ 1 (s), ϕ 2 (s)) = f(s) per ognis ∈ I.4.2. Equazione del caloreUn solido occupa il volume G ⊂ R 3 ; si indica con u(q, t) la temperatura del corpo nel puntoq = (x, y, z) ∈ G all’istante t ∈ R. Sulla base del principio di conservazione dell’energiaè possibile mostrare che la funzione u soddisfa all’equazione del calorek∂u∆u(q, t) = (q, t) (4.6)cϱ ∂tdove k è la conduttività del corpo, c il suo calore specifico e ϱ la sua densità di massa chesi suppone costante. L’equazione (4.6) è un’equazione differenziale alle derivate parzialidel secondo ordine.In primo luogo si mostra che sulla base del principio di conservazione dell’energia èpossibile stabilire una sorta di equazione di bilancio energetico simile all’equazione dicontinuità per la densità di massa. Si indica con ε(q, t) la densità di energia del corpoin q ∈ G all’istante t e con j(q, t) il flusso di calore in q all’istante t, ovvero presa unasuperficie infinitesima dσ centrata in q ∈ Ω, l’energia che la attraversa per unità di temponel verso specificato dalla normale ν dσ a dσ è uguale a j(q, t) · ν dσ . Sia Ω ⊂ G unaregione chiusa e limitata la cui frontiera ∂Ω è una superficie regolare; sia dσ una porzioneinfinitesima di ∂Ω centrata in q ∈ ∂Ω, l’energia che attraversa l’area dσ per unità di temponel verso specificato dalla normale esterna ν(q) a ∂Ω in q è pari a j(q, t) · ν(q). Osservatoche l’energia totale contenuta in Ω all’istante t è uguale all’integrale della densità ε(q, t)esteso al volume Ω, dal principio di conservazione dell’energia segue cheddt∫Ω∫ε(q, t) dq = −∂Ωj(q, t) · ν(q) dσApplicando il teorema della divergenza al secondo membro si ottiene∫∂ε∂t∫Ω(q, t) dq = − j(q, t) · ν(q) dqΩfismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 87