Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

−πp✻✲✲✲✲−P 3 P 3✛0 ✛✛✛ ✲π qFig. 2.18. Curve di livello per il pendolo rotante nel caso ρ < 1. I versi non indicati in figura si ottengonoper continuità.Dalla discussione precedente si ha che l’insieme dei dati iniziali che generano orbite periodiche è tutto lospazio delle fasi a eccezione dei punti di equilibrio e dei punti della curva di livello con energia h 2 ; ovveroΠ = [−π, π] × R \ (Γ h2 ∪ {P 1 , P 2 }).Nel caso ρ < 1 lo studio delle curve di livello procede in modo analogo. Una maggiore complicazionenei calcoli è dovuta al fatto che ci sono due punti di equilibrio instabili con energia diversa, infattih(P 1 ) = ω 2 (1/4 − ρ) < ω 2 (1/4 + ρ) = h(P 2 ). Quindi in questo caso è necessario disegnare due diversecurve separatrici. I risultati sono in figura 2.18. Dalla figura 2.18 si evince che l’insieme dei dati inizialiche generano orbite periodiche è tutto lo spazio delle fasi a eccezione dei punti di equilibrio e dei puntidelle due separatrici, ovvero Π = [−π, π] × R \ (Γ h1 ∪ Γ h2 ).6. Con l’introduzione del termine dissipativo l’equazione del moto diventa ¨θ = ω 2 sin θ cos θ −g sin θ −α ˙θ con α > 0. Con la stessa sostituzione introdotta al punto 1 si ottiene il sistema dinamico{ ˙q = pṗ = ω 2 sin q cos q − g sin q − αpIl sistema dinamico è nella forma ( ˙q, ṗ) = f ′ (q, p) con f ′ (q, p) = f(q, p) + (0, −αp). Voglio studiare lastabilità dei punti critici di questo nuovo sistema nel caso ρ < 1: in primo luogo osservo che la funzioneh(q, p) non è una costante del moto per il nuovo problema:L f ′h(q, p) = ∂h∂q (q, p)f ′ 1(q, p) + ∂h∂p (q, p)f ′ 2(q, p) = −αp 2che non è identicamente uguale a zero. Si vede facilmente che i punti critici sono P 1 , P 2 e P 3 e linearizzandoattorno a P 1 e P 2 si vede che si tratta di punti instabili. Si discute, ora, in dettaglio il punto P 3 : lamatrice di linearizzazione si scrive(A ′ (P 3 ) =0 1ω 2 (ρ 2 − 1) −αGli autovalori λ sono le soluzioni dell’equazione secolare λ 2 + αλ + ω 2 (1 − ρ 2 ) = 0. Si ottiene, quindi,λ 1,2 = [−α ± √ α 2 − 4ω 2 (1 − ρ 2 )]/2; si verifica facilmente che Re(λ 1 ), Re(λ 2 ) < 0, quindi il punto P 3 èasintoticamente stabile.Stima del bacino d’attrazione di P 3 : lo scopo è determinare un dominio chiuso D ⊂ [−π, π] × R taleche per ogni x 0 ∈ D la traiettoria ϕ(t) con dato iniziale ϕ(0) = x 0 tenda asintoticamente a P 3 , ovverolim t→+∞ ϕ(t) = P 3 . Volendo studiare l’asintotica stabilità con la teoria di Liapunov una candidatanaturale per la funzione di Liapunov sarebbew(q, p) := h(q, p) − h(P 3 ) = 1 [ ]12 p2 + ω 2 2 (cos2 q + ρ 2 ) − ρ cos qIl punto P 3 è un minimo per la funzione w(q, p) e w(P 3 ) = 0, quindi è possibile trovare un ε > 0abbastanza piccolo tale che la prima ipotesi del Teorema 2.30 è soddisfatta. Anche la seconda ipotesi)fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 54