Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

Per esempio nel punto ¯x = (0, 1) si ha L v u(0, 1) = 2 sin α, si vede subito che α = 0 si ha che la derivatadirezionale è nulla perché si sta calcolando la derivata lungo una curva di livello, per α = π/2 si ha chela derivata direzionale è uguale a 2 perché la derivata ammonta a calcolare la derivata della parabola chegenera il paraboloide. Si considera, ora, la retta del piano x 1 x 2 passante per ¯x e con direzione data da v,cioè si considera una curva passante per ¯x e tangente a v in questo punto: ϕ(t) = (¯x 1 +t cos α, ¯x 2 +t sin α)con t ∈ R. Per la proprietà discussa in precedenza la derivata direzionale può essere calcolata anche nelmodo seguente:d∣dt u(ϕ(t)) ∣∣t=0= d dt [(¯x 1 + t cos α) 2 + (¯x 2 + t sin α) 2 ] ∣t=0= [2(¯x 1 + t cos α) cos α + 2(¯x 2 + t sin α) sin α] t=0 = 2¯x 1 cos α + 2¯x 2 sin αdove si è usato che la retta passa per ¯x in corrispondenza di t = 0.Su supponga, ora, che sull’aperto connesso I su cui u è differenziabile sia definita anchela funzione vettoriale f : I ⊂ R n → R n di Lipschitz su I che a ogni punto x ∈ I associail vettore n–dimensionale f(x). Si definisce derivata di Lie della funzione u relativa alcampo vettoriale f la quantitàL f u(x) := L f(x) u(x) = ∇u(x) · f(x) (2.12)per ogni x ∈ I. In altri termini la derivata di Lie 1 di u rispetto al campo vettoriale fè la derivata di u nel punto x calcolata lungo la direzione specificata dal vettore f(x)che il campo vettoriale f associa a x. Dalla discussione precedente segue la seguenteimportante interpretazione della derivata di Lie: si consideri l’unico moto ϕ : J → Iassociato al sistema dinamico ẋ = f(x) passante per un punto ¯x ∈ I all’istante ¯t e siconsideri la funzione composta U(t) := u(ϕ(t)) con t ∈ J, allora la derivata di Lie di urispetto a f nel punto ¯x è uguale alla derivata ordinaria della funzione composta di unavariabile U, ottenuta ottenuta calcolando u lungo il moto ϕ, calcolata nell’istante in cuiil moto passa per il punto ¯x, in altri termini L f u(¯x) = U ′ (¯t).Si può finalmente dare la definizione di integrale primo: si consideri il sistema dinamico(2.6) con f : I → R n di Lipschitz sull’aperto connesso I ⊂ R n . Si dice che una funzione avalori reali u : I → R di classe C 1 (I) è un integrale primo del sistema dinamico (2.6) see solo se per ogni x ∈ I si ha L f u(x) = 0. Dalla discussione precedente sul significato delladerivata di Lie segue immediatamente l’importanza degli integrali primi nel contesto dellostudio dei sistemi dinamici: comunque si prenda un moto ϕ : J → I, se u è un integraleprimo del sistema dinamico, allora la funzione del tempo U : J → R ottenuta calcolandol’integrale primo lungo il moto ha derivata nulla in ogni istante e quindi è costante. Inaltri termini un integrale primo è costante lungo un qualsiasi moto del sistema dinamico.Più precisamente vale la seguente proposizione.Proposizione 2.15 Si considera il sistema dinamico (2.6) con il campo delle direzionif : I → R di Lipschitz sull’aperto connesso I ⊂ R n . Sia u : I → R differenziabile su I.La funzione u è un integrale primo del sistema dinamico (2.6) se e solo se per ogni motoϕ : J → I si ha U(t) := u(ϕ(t)) costante su J.1 Si noti l’analogia tra la derivata di Lie e la derivata sostanziale che si introduce nei problemi difluidodinamica.fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 29