Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

Dal momento che I 1 < I 2 < I 3 si ha anche µ − I 1 ν > 0; quindi l’equazione precedentedefinisce un’ellisse i cui semiassi sono molto piccoli. In definitiva durante il moto lecoordinate Ω 2 (t) e Ω 3 (t) si mantengono molto piccole. Usando, infine, una delle due leggidi conservazione, per esempio quella dell’energia cinetica, per esprimere Ω 1 in funzione diΩ 2 e di Ω 3 si haΩ 2 1 = a 2 + ν/I 1 − (I 2 Ω 2 2 + I 3 Ω 2 3)/I 1Essendo ν piccolo, Ω 2 e Ω 3 vicini a zero durante tutto il moto si ha che Ω 1 si mantieneprossimo ad a. Si può quindi concludere che il punto fisso (a, 0, 0) è stabile. In mododel tutto analogo si può riconoscere anche la stabilità dei punti fissi (0, 0, c), con c ∈ R,giacenti sull’asse Ω 3 .Lo studio precedente è stato condotto sotto l’ipotesi di non degenerazione dei momentid’inerzia, cioè I 1 < I 2 < I 3 ; si studiano, ora, le rotazioni permanenti in presenza didegenerazione. Il caso a simmetria sferica, cioè il caso in cui i tre momenti sono tuttiuguali, è molto semplice: il campo delle direzioni è uniformemente nullo e quindi tutti ipunti dello spazio delle fasi sono di equilibrio e, di conseguenza, sono tutti di equilibriostabile. Dal punto di vista fisico ciò significa che le rotazioni sono permanenti e stabiliattorno a tutti gli assi passanti per il punto fisso. Se la degenerazione è di tipo cilindrico,cioè se esistono due soli momenti d’inerzia coincidenti, per esempio I 1 = I 2 ≠ I 3 , ilcorpo rigido è detto giroscopio. In questo caso le equazioni di Eulero si semplificanonotevolmente:˙Ω 1 = (1 − α) Ω 2 Ω 3 , ˙Ω2 = (α − 1) Ω 3 Ω 1 , ˙Ω3 = 0 (2.44)ove si è posto α := I 3 /I. Il campo delle direzioni è allora dato dalla funzione vettorialef(Ω 1 , Ω 2 , Ω 3 ) := ( (1 − α)Ω 2 Ω 3 , (α − 1)Ω 3 Ω 1 , 0). Risolvendo il sistema algebricof(Ω 1 , Ω 2 , Ω 3 ) = 0 si trova che i punti fissi sono tutti e soli i punti del piano Ω 1 Ω 2 edell’asse Ω 3 , ovvero i punti del piano delle fasi del tipo (a, b, 0) e (0, 0, c), con a, b, c ∈ R.In altri termini il solido esibisce una rotazione permanente se viene posto in rotazioneattorno all’asse principale con momento d’inerzia non degenere oppure attorno a un qualsiasiasse passante per il punto fisso e giacente nel piano individuato dai due assi principalicon momenti d’inerzia degeneri, detto piano equatoriale.Dal momento che la terza componente del campo delle direzioni è nulla segue che tuttele linee di fase giacciono in piani ortogonali all’asse Ω 3 , in altri termini lungo tutte le lineedi fase la variabile Ω 3 si mantiene costante. L’equazione che esprime la conservazionedell’energia in questo caso diventaI 1 Ω 2 1 + I 2Ω 2 2 + I 3Ω 2 3 = 2T ⇒ Ω2 1 + Ω2 2 = 2T/I 1 − α¯Ω 2 3dove ¯Ω 3 è il valore costante della variabile Ω 3 lungo il moto preso in cosiderazione e, siricorda, T è l’energia cinetica del solido. In conclusione le linee di fase appartengonoa circonferenze giacenti su piani ortogonali all’asse Ω 3 e con centro sul medesimo asse.Usando questa osservazione, e procedendo come si è fatto nel caso non degenere, si vedesubito che i punti fissi del tipo (0, 0, c) sono stabili.fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 63