Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

✻x✟✻✟ ✟ ✟ ✟x✻x 0x ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✟ ✟ ✟ ✟ ✟✏ ✏ ✏ ✏ ✏✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ tt 0t✲✘✘ ✘✘ ✘✘ ✘✘ ✘✘✲t✲Fig. 1.1. A sinistra: linea di fase corrispondente al problema di Cauchy associato alla (1.5) con datoiniziale x(t 0 ) = x 0 ; è evidenziata la pendenza f(x) della retta tangente alla linea di fase nel punto (t, x).Al centro: schema del campo delle direzioni che permette di farsi un’idea intuitiva dell’andamento di unalinea di fase nel piano esteso. A destra: analogo della figura centrale per il campo delle direzioni linearef(x) = kx con k > 0.per x(0) = 0 la soluzione del problema di Cauchy è la funzione costante x(0) = 0; questo risultatoè sicuramente sensato nel caso del sistema descritto dal modello della riproduzione normale: in unapopolazione con zero elementi non nascono individui. Queste osservazioni grafiche sono perfettamentecoerenti con la soluzione analitica del problema data nell’Esempio 1.6.Per il sistema dinamico studiato nell’Esempio 1.8 in corrispondenza del dato inizialenullo, il sistema resta “congelato” nella condizione iniziale. Questa osservazione suggeriscela seguente importante definizione: si dice che un punto x e appartenente all’intervallo Isu cui è definito il campo delle direzioni f del sistema dinamico ẋ = f(x) è un puntocritico (o fisso o di equilibrio) per il sistema dinamico se e solo se f(x e ) = 0.L’individuazione dei punti fissi nello studio di un sistema dinamico è estremamenteimportante, perché le linee di fase emergenti dai punti fissi sono costanti, cioè un sistemadinamico preparato all’istante iniziale t 0 in un punto fisso x e vi rimarrà per ogni t > t 0 .Più precisamente vale la seguente proposizione.Proposizione 1.9 Si consideri il sistema dinamico (1.5) con f : I → R continuasull’intervallo aperto I ⊂ R e sia x e ∈ I tale che f(x e ) = 0. Allora preso t 0 ∈ R, ilproblema di Cauchy relativo a (1.5) con dato iniziale x(t 0 ) = x e ammette la soluzionecostante ϕ : t ∈ R → ϕ(t) = x e ∈ R.Dimostrazione. Bisogna verificare che ϕ è soluzione del problema di Cauchy. In primoluogo si osserva che ϕ(t 0 ) = x e , cioè la funzione ϕ verifica il dato iniziale; in secondo luogoper ogni t reale.dϕdt (t) = 0 e f(ϕ(t)) = f(x e) = 0 ⇒ dϕ (t) = f(ϕ(t))dtProposizione 1.9 □fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 5