Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

e 3e 2e 1p✻✲✲✲✛ P✛✛✲qFig. 2.15. Curve di livello per il moto armonico semplice; P = (0, 0) è un punto di equilibrio stabile;h(P ) = 0 e e 3 > e 2 > e 1 > 0.si può invocare il Teorema 2.28 e concludere che (0, 0) è un punto fisso stabile ma non asintoticamentestabile.A titolo di esercizio si mostra come il problema possa essere affrontato con la teoria di Liapunov.Il punto P è estremale per la funzione h(q, p). Per studiarne le proprietà si scrive la matrice hessianaH(q, p)pertanto∂ 2 h∂q 2 = κ∂ 2 h∂p 2 = 1 mH(q, p) =∂ 2 h∂q∂q = ∂2 h∂p∂q = 0( κ 00 1/mInoltre det (H(0, 0)) = κ/m > 0 e H 1,1 (0, 0) = κ > 0 implicano che P è un punto di minimo per lafunzione h(q, p). Si dimostra che la funzione w(q, p) = h(q, p)−h(0, 0) è una funzione di Liapunov, quindiusando il Teorema 2.30 si conclude che P è un punto di equilibrio stabile.In primo luogo si osserva che h(0, 0) = 0. Fissato un numero reale e > 0 la curva di livello con energiae ha equazione12m p2 + 1 2 κq2 = e (2.28)Per ogni e > 0 la curva di livello è un’ellisse centrata nell’origine (si veda la figura 2.15). Per e < 0 nonsi hanno curve di livello. Per e = 0 la curva di livello coincide con il punto di equilibrio stabile. Orbiteperiodiche: per ogni valore di e > 0 la corrispondente curva di livello è una curva chiusa e regolare. Sudi essa giace un’orbita periodica. Pertanto l’insieme dei dati iniziali che danno luogo a orbite periodicheè Π = R \ {P }.Si consideri e > 0. Lungo l’orbita con energia e si ha p = ± √ m(2e − κq 2 ). Per ragioni di simmetria ilperiodo T è dato dal doppio del tempo impiegato a percorrere l’arco superiore della traiettoria di equazionep = √ m(2e − κq 2 ). Il punto iniziale è (− √ 2e/κ, 0), mentre quello finale è ( √ 2e/κ, 0). Usando la primadelle (2.26) si hadqdt = 1 √2e − κqm p = 2⇒m∫ T/20∫ √ 2e/κdt =− √ 2e/κEseguendo la sostituzione q = √ 2e/κ sin θ si ottiene)∫ √ 2e/κdq√(2e − κq2 )/m = 20dq√(2e − κq2 )/mT2 = √4mκSi osservi che il periodo è indipendente da e.∫ π/20√ mdθ ⇒ T = 2πκEsempio 2.35. Pendolo semplice. Si considera il pendolo semplice di lunghezza l e massa m; detto θl’angolo tra la direzione del pendolo e la verticale discendente si ha che il moto è regolato dall’equazione ¨θ =fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 46