Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

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mentre nel caso 0 ≤ t ≤ a/c si ha⎧0 −∞ < x < −ct − a⎪⎨ h[a 2 − (x + ct) 2 ]/(2a 2 ) −ct − a ≤ x < ct − au(x, t) = h[1 − (x 2 + c 2 t 2 )/a 2 ] ct − a ≤ x < −ct + ah[a⎪⎩2 − (x − ct) 2 ]/(2a 2 ) −ct + a ≤ x < ct + a0 ct + a ≤ x < +∞Esercizio 6.38. La corda illimitata è eccitata dalla condizione iniziale u 0 (x) in figura e v 0 (x) = 0. Lecostanti reali α 1 , β 1 , α 2 , β 2 , h 1 , h 2 sono positive.✁ ✁❆ ❆h 2u 0✻h 1✄ ✄✄✄❈ ❈❈❈✲α 1 β 1 α 2 β 2 xSi determini in quale punto e in quale istante la deviazionedella corda risulta massima. Si determini il valoremassimo della deviazione.Soluzione 6.38: deviazione massima (h 1 + h 2 )/2, all’istante t = [α 2 − α 1 + β 2 − β 1 ]/(4c) e alla posizionex = [α 2 + α 1 + β 2 + β 1 ]/4.Esercizio 6.39. Al segmento −a ≤ x ≤ +a, con a ∈ R ∗ +, di una corda illimitata con profilo inizialeu 0 (x) = 0 è trasmessa la velocità costante v 0 . All’esterno di tale segmento la velocità iniziale è nulla.Si determini il profilo della corda all’istante t ≥ 0 e si disegni tale profilo agli istanti t k = ka/(4c) conk = 0, 2, 4, 6.Esercizio 6.40. All’istante iniziale una corda illimitata riceve nel punto x = 0 un colpo trasversale chele trasmette impulso I. Si giustifiche la scelta v 0 (x) = (I/ϱ)δ(x), ove ϱ è la densità di massa della corda,e si determini il profilo della corda all’istante t ≥ 0 supponendo u 0 (x) = 0 per ogni x ∈ R.Soluzione 6.40: fisso t ≥ 0, u(x, t) = I/(2ϱc) per le ascisse x tali che −ct < x < ct e u(x, t) = 0 zeroaltrove.Esercizio 6.41. Si risolva il problema di Cauchy u(x, 0) = u 0 (x) e u t (x, o) = v 0 (x) per la seguenteequazione differenziale alle derivate parziali del secondo ordine quasilineare:β ∂2 u∂x 2 + α ∂2 u∂t∂x + ∂2 u∂t 2 = 0con α = 2V , β = V 2 − gτ/ϱ e le costanti V, ϱ, g, τ ∈ R ∗ +.Soluzione 6.41: posto λ 1 = −β/[V + √ gτ/ϱ] e λ 2 = −β/[V − √ gτ/ϱ] si hau(x, t) = 1 2c [λ 1u 0 (x + λ 1 t) − λ 2 u 0 (x + λ 2 t)] + 1 2c∫ x+λ2tx+λ 1tv 0 (s) dsEsercizio 6.42. La corda semi–illimitata fissata nell’origine è eccitata dalla condizione iniziale u 0 (x) infigura e v 0 (x) = 0. Le costanti reali h e a sono positive.u 0✻hSi disegni il profilo ottenuto come unica soluzione deldel problema di Cauchy agli istanti di tempo✁ ✁✁✁❆ ❆❆❆a 3a✲xt 1 = a c , t 2 = 3a2c , t 3 = 2a cet 4 = 7a2cfismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 108
Esercizio 6.43. Una corda semi–illimitata con estremo fisso nell’origine riceve all’istante t = 0 un colpotrasversale che trasmette alla corda impulso I sul tratto 0 ≤ x ≤ 2l in modo che il profilo inizialedella velocità in [0, 2l] sia una semionda sinusoidale. Si determini il profilo della corda u(x, t) per t ≥ 0supponendo che u(x, 0) = 0 per ogni x ≥ 0.Soluzione 6.43: si pone A = −πI/(4l); per 0 < x < 2l si ha il profilo⎧⎨ −[2Al/(πc)] sin[πx/(2l)] sin[ct/(2l)]0 < t < (2l − x)/cu(x, t) = +[2Al/(πc)] cos⎩2 [π(x − ct)/(4l)] (2l − x)/c < t < (2l + x)/c0 (2l + x)/c ≤ t < +∞e per 2l < x, +∞ si ha⎧⎨ 0 0 < t < (−2l + x)/cu(x, t) = +[2Al/(πc)] cos⎩2 [π(x − ct)/(4l)] (−2l + x)/c < t < (2l + x)/c0 (2l + x)/c ≤ t < +∞Esercizio 6.44. Una corda semi–illimitata con estremo fisso nell’origine riceve all’istante t = 0 un colpotrasversale che trasmette alla corda impulso I nel punto x 0 . Si determini il profilo della corda u(x, t) pert ≥ 0 supponendo che u(x, 0) = 0 per ogni x ≥ 0.Soluzione 6.44: si definisce la funzione θ di Heavisideθ(y) ={ 0 −∞ < y < 01 0 < y < +∞(6.7)Allora la soluzione può essere posta nella forma: u(x, t) = [I/(2cϱ)]{θ(x − x 0 + ct) − θ(x − x 0 − ct) −θ(x + x 0 + ct) + θ(x + x 0 − ct)}.Esercizio 6.45. Si risolva l’Esercizio 6.44 supponendo che l’impulso iniziale I sia trasmesso ai puntix n > x n−1 > · · · > x 1 > 0.Soluzione 6.45: ricordando la definizione (6.7) la soluzione può essere posta nella forma:u(x, t) =I2cϱn∑{θ(x − x k + ct) − θ(x − x k − ct) − θ(x + x k + ct) + θ(x + x k − ct)}k=1Esercizio 6.46. Si consideri una corda semi–illimitata, tesa e con origine fissa, lungo cui le oscillazionitrasversali si propagano con velocità di fase 1. Si supponga che all’istante iniziale tutti gli elementi dellacorda siano a riposo e che il profilo iniziale (nella regione x ≥ 0) sia dato dalla funzione u 0 (x) = 2 perx ∈ [3, 4] e u 0 (x) = 0 altrove. Si determini il profilo della corda agli istanti t = 2, 4, 6, 8. Si disegni ilgrafico della posizione degli elementi x = 2 e x = 5 in funzione del tempo.Esercizio 6.47. Si consideri una corda illimitata, tesa e con origine fissa, lungo cui le oscillazioni trasversalisi propagano con velocità di fase 1. Si supponga che all’istante iniziale la corda giaccia lungo l’assex e che tutti gli elementi della corda siano a riposo a eccezione di quelli nell’intervallo [0, 1] i qualihanno velocità trasversale 1. Si determini il profilo della corda in funzione del tempo nei punti di ascissax = 1/4, 1/2, 5.6.8. Equazione delle onde: corda e sbarra limitataL’equazione di d’Alambert su D := {(x, t) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0} descrive diversifenomeni oscillatori:fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 109
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Esercizi e appunti per il corso di
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⇒ x(t) = Ce tcon C ∈ RImpondend
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✻x✟✻✟ ✟ ✟ ✟x✻x 0x
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viene scelto vicino a x 2 il sistem
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Esercizio 1.4. Supponendo uniforme
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Questo è parzialmente vero nel cas
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L’integrale, infatti, ha senso pe
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sensato, perché si ricorda che le
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dimostrare che il tempo t 1 − t 0
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con f : R n → R una funzione asse
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Come nel caso unidimensionale verif
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- asintoticamente stabile se e solo
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Esempio 2.9. Sulla base di argoment
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x 2✻✲✻ ✲✛ ✻❄✛ ❄
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Per esempio nel punto ¯x = (0, 1)
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livello chiusa, questa osservazione
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(x 2 + y 2 )/2. Si può verificare
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- Per a = 1, la curva di livello pa
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Teorema 2.21 Si consideri il sistem
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ciò fa intuire che in qualche sens
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Teorema 2.28 (Stabilità dei sistem
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La palla B δ (x e ) è proprio que
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e si studia la matrice associata al
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−ω 2 sin θ, dove ω = √ g/l
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Da questa proprietà segue che w è
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✲✲✛✛P 3p✻✲✲✛✛P 2
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−πp✲✻✲✲ ✲✛0 π q✛
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è soddisfatta, perché L f ′w(q,
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Page 99 and 100: 1. u x + u y = u;2. 2u x − 3u y =
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Page 103 and 104: 3. u(x, y) = log √ x 2 + y 2 , (x
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Page 119: 6.3. Equazione di Laplace: funzioni
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