Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

y✻✲ ✻ ✛❄✲ x✲✲✲✲✲y✻✛✛✛✛✛✲ xFig. 2.14. A sinistra: ritratto di fase del sistema dinamico (2.22); il punto fisso ha la natura di una sella.A destra: ritratto di fase del sistema dinamico ottenuto linearizzanto (2.22) attorno all’origine.il sistema dinamico con un sistema lineare, si cerca di dedurre il comportamento delsistema esibendo delle funzioni definite sullo spazio delle fasi che abbiano comportamentipeculiari lungo ciascuna traiettoria di fase, si pensi, per esempio, agli integrali primi chesono costanti lungo le linee di fase. La teoria di Liapunov permette di studiare i punti fissiper i quali non è possibile applicare il teorema sulla stabilità lineare, per esempio i puntifissi stabili di sistemi dinamici che hanno un integrale primo o i punti fissi asintoticamentestabili di sistemi dinamici ottenuti aggiungendo un termine dissipativo al campo delledirezioni di un sistema dinamico che ammette una costante del moto.Teorema 2.30 (Liapunov sulla stabilità dei punti fissi) Si consideri il sistema dinamico(2.6) con campo delle direzioni f : I ⊂ R n → R n continuo e di Lipschitz su I e sia x eun suo punto fisso. Si supponga che esiste una funzione w : I ′ ⊂ I → R di classe C 1sull’intorno sferico (aperto) I ′ di x e tale che– w(x e ) = 0 e w(x) > 0 per ogni x ∈ I ′ \ {x e };– L f w(x) ≤ 0 per ogni x ∈ I ′ ;allora il punto fisso x e è stabile. Se, inoltre, la funzione w è tale che– L f w(x) < 0 per ogni x ∈ I ′ \ {x e }allora il punto fisso x e è asintoticamente stabile.Dimostrazione. Si dimostra dapprima la prima parte del teorema. Sia ε > 0 tale chela palla di centro x e e raggio ε sia tutta contenuta nell’aperto I ′ , cioè B ε (x e ) ⊂ I ′ . Ilproblema sta nel determinare un numero reale e positivo δ tale che il moto emergente daun qualunque dato iniziale nella palla di raggio δ centrata nel punto fisso resta confinatonella palla B ε (x e ).Si considera la frontiera ∂B ε (x e ), che è un insieme chiuso e limitato, e il minimo m > 0che la funzione w assume su ∂B ε (x e ); tale minimo esiste per la continuità di w. Dalmomento che per ipotesi w(x e ) = 0 < m si ha che l’insieme A := {x ∈ I ′ : w(x) < m/2}contiene x e ; inoltre dalla continuità di w segue che A è un insieme aperto. Allora esisteun numero reale δ > 0 tale che la palla di raggio δ centrata in x e è tutta contenuta in A,cioè B δ (x e ) ⊂ A.fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 42