Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

Γ e = {(q, p) ∈ R 2 : q e 1 ≤ q ≤ q e 2, p = ± √ 2(e − u(q)} ∪ {(q, p) ∈ R 2 : q e 3 ≤ q ≤q e 4 , p = ±√ 2(e − u(q)}, consta di due curve chiuse e regolari, disgiunte e contenentinel loro interno rispettivamente i punti (q 1 , 0) e (q 5 , 0). Su ognuna delle componenticonnesse di Γ e giace un’orbita periodica. L’orbita che ruota attorno a (q 1 , 0) ha q e 1e q e 2 come punti di inversione. L’orbita che ruota attorno a (q 5, 0) ha q e 3 e qe 4 comepunti di inversione.– e = u 4 : denoto con q1 e < q 4 < q2 e le tre soluzioni dell’equazione e − u(q) = 0(u(q) = u 4 ). L’insieme dei punti accessibili al moto è l’intervallo: I e = [q1, e q2]. e Ilpunto q 4 è un minimo del potenziale, quindi è un punto di equilibrio instabile. Lacurva di livello è la separatrice e consta di tre parti: Γ e = Γ 1 e ∪ Γ2 e ∪ Γ3 e ove Γ1 e ={(q, p) ∈ R 2 : q1 e ≤ q < q 4, p = ± √ 2(e − u(q)}, Γ 2 e = {(q 4, 0)} e Γ 3 e = {(q, p) ∈R 2 : q 4 < q ≤ q2 e, p = ±√ 2(e − u(q)}. Su Γ 1 e e Γ3 e giacciono due orbite asintoticheomocline, mentre su Γ 2 e giace l’orbita corrispondente al punto di equilibrio instabileq(t) = q 4 . È interessante studiare il comportamento asintotico della separatriceattorno al punto di equilibrio instabile q 4 , si veda anche l’Esercizio 3.3 per unostudio più generale; in questo caso il campo delle direzioni f non permette di stabilirela pendenza della tangente in (q 4 , 0) perché tale punto è fisso e quindi f(q 4 , 0) =(0, 0). Considero, allora, l’arco di equazione p = √ 2[u 4 − u(q)], con q ≥ q 4 , pongoP (q) := u 4 − u(q) = u 4 − (q 2 − 1)(q + 2) 2 e sviluppo in serie di Taylor in unintorno di q 4 . Dal momento che P (q 4 ) = u 4 − u(q 4 ) = 0, P ′ (q 4 ) = −u ′ (q 4 ) = 0 eP ′′ (q 4 ) = −6(2q4 2 + 4q 4 + 1) = 6( √ 3 − 1), si haP (q) = 1 2! 6(√ 3 − 1)(q − q 4 ) 2 + O((q − q 4 ) 3 ) = 3( √ 3 − 1)(q − q 4 ) 2 + O((q − q 4 ) 3 )L’equazione dell’arco di separatrice diventap =√6( √ []3 − 1)(q − q 4 ) 2 1 + O((q−q 4) 3 )3( √ 3−1)(q−q 4 ) 2=√6( √ 3 − 1)(q − q 4 ) √ √1 + O(q − q 4 ) = 6( √ 3 − 1)(q − q 4 )[1 + O(q − q 4 )]dove nell’ultima √ uguaglianza si è usato q ≥ q 4 ; il termine dominante è lineare e hapendenza 6( √ 3 − 1).– e > u 4 : denoto con q1 e < qe 2 le due soluzioni dell’equazione e − u(q) = 0. L’insiemedei punti accessibili al moto è l’intervallo I e = [q1 e, qe 2 ]. La curva di livello Γ e ={(q, p) ∈ R 2 : q1 e ≤ q ≤ qe 2 , p = ±√ 2(e − u(q)} è una curva chiusa e regolareattorno a (q 1 , 0) e (q 5 , 0). Poiché la curva di livello non passa per nessun punto diequilibrio, allora esiste una sola orbita periodica coincidente con la curva di livellostessa. I punti q1 e e q2 e sono i punti di inversione del moto periodico.L’analisi precedente permette di stabilire quale sia l’insieme dei dati iniziali che generanoorbite periodiche: si vede immediatamente che tale insieme è costituito dal sottoinsiemedel piano delle fasi Π = R 2 \ (Γ u4 ∪ {(q 5 , 0)}).fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 69