Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

con q = (x, y, z) ∈ R 3 , t ∈ R e u un campo scalare o vettoriale, si veda il paragrafo 4.5.Si mostra come l’equazione (4.20) per la corda sottile possa essere dedotta come limitecontinuo di un problema discreto con numero finito di gradi di libertà. L’argomentoche sarà sviluppato è dovuto a Lagrange (1759), si veda anche [5]; pur non essendo unaderivazione rigorosa ha il pregio di mettere in luce come alcune grandezze del modellodiscreto possano essere interpretate quando si lascia divergere il numero di gradi di libertà.Si immagina di approssimare la corda sottile con un sistema di n + 1 oscillatori mutuamenteinteragenti di massa m := M/(n + 1); un’oscillatore è fisso nell’origine del sistemadi riferimento cartesiano xz e un secondo oscillatore è fisso nel punto di coordinate (L, 0).Per ogni j = 1, . . . , n − 1 la particella individuata da j si muove lungo una retta parallelaall’asse z a distanza x j := jl dall’asse z, ove l := L/n. La particella j, con j ≠ 0, n,interagisce con le sue due particelle prime vicine, cioè con la j − 1 e la j + 1; la particellanell’origine interagisce con la sola particella j = 1 e la particella j = n interagosce con lasola particella j = n − 1. L’interazione è di tipo elastico con medesima costante per tuttele coppie di particelle pari a k := τ/l.È facile convincersi che il sistema è in equilibrio se tutte le particelle vengono postesull’asse x con velocità nulla. Il sistema ha n − 1 gradi di libertà e come coordinatelagrangiane si possono scegliere gli n − 1 numeri reali u j , con j = 1, . . . , n − 1 che rappresentanola quota della particella j misurata lungo l’asse z, ovvero la deviazione dallarelativa posizione di equilibrio.Per determinare le equazioni del moto si segue la strategia lagrangiana, quindi siscrivono dapprima l’energia cinetica T e l’energia potenziale U del sistemaT = 1 n−12 m ∑j=1˙u 2 j e U = 1 n−12 k ∑[l 2 + (u j+1 − u j ) 2 ] + cost = 1 n−12 k ∑(u j+1 − u j ) 2 (4.21)j=0dove la costante arbitraria è stata scelta in modo opportuno e si è posto u 0 = u n = 0. Siconsidera ora la lagrangiana L := T − U si calcolano le derivate∂L∂ ˙u i= m ˙u iej=0∂L∂u i= −k[(u i − u i−1 ) − (u i+1 − u i )]per ogni i = 1, . . . , n − 1, dove nel calcolo della seconda derivata si è usato che il termineu i compare nell’espressione dell’energia potenziale in corrispondenza di due valori di j,più precisamente per j = i−1 e per j = i. Usando le due espressioni precedenti si possonoscrivere facilmente le equazioni di lagranged ∂L− ∂L = 0 ⇒ mü i − k[(u i+1 − u i ) − (u i − u i−1 )] = 0 (4.22)dt ∂ ˙u i ∂u iper ogni i = 1, . . . , n − 1.Lo studio appena condotto del modello discreto è del tutto rigoroso e le (4.22) sonole equazione del moto per il sistema discreto costituito dagli n + 1 oscillatori armoniciaccoppiati; è evidente che si tratta dell’equazione del moto di Newton scritta per ciascunadelle n−1 particelle la cui posizione non è stata fissata. A questo punto si vuole “intuire”fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 93