Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

Troncando lo sviluppo delle potenze dei binomi e della serie geometrica al secondo ordine in δ si ha:[u 1 + ε − 1 2 (ρ2 1 + 2δρ 1) + 1 ( ) ( ) 2]6 (ρ6 1 + 6δρ5 1 ) −L2 2δ2µρ 2 1 − + δ2 2δ1 ρ 1 ρ 2 + + δ21 ρ 1 ρ 2 = 01Arrestando lo sviluppo del termine in parentesi quadre al secondo ordine in δ si ha:u 1 + ε − 1 2 (ρ2 1 + 2δρ 1) + 1 [6 (ρ6 1 + 6δρ5 1 ) −L22µρ 2 1 − 2δ ]+ 3δ21 ρ 1 ρ 2 = 01A questo punto si osserva che i termini non dipendenti da δ ricostruiscono −u eff (ρ 1 ) = −u 1 e i coefficientidei termini lineari in δ ricostruiscono −u ′ eff (ρ 1) = 0, quindi l’equazione si semplifica notevolmente e siottieneε − 12µρ 4 δ 2 ( √µρ 4 1 − 5µρ 8 1 + 3L 2) ε= 0 ⇒ δ = ±1Aove si è posto A = (µρ 4 1 − 5µρ8 1 + 3L2 )/2µρ 4 1 > 0. In conclusione se la particella con energia u 1 + ε vieneposta all’istante iniziale in ρ(0) = ρ 1 , allora essa avrà un’orbita limitata che si svolge all’interno dellacorona circolare di raggi√ √ ε ερ 1 (ε) = ρ 1 −A < ρ 2(ε) = ρ 1 +ADeterminazione della legge oraria radiale al primo ordine in ε: devo integrare l’equazione che si ottienedal principio di conservazione dell’energia e = µ ˙ρ 2 /2 + u eff (ρ). Poiché ρ 1 (ε) < ρ < ρ 2 (ε) svilupparel’equazione precedente al primo ordine in ε vuol dire arrestare lo sviluppo di u eff (ρ) in ρ − ρ 1 al secondoordine. Quindiu eff (ρ) = u eff (ρ 1 ) + u ′ eff (ρ)(ρ − ρ 1) + 1 2 u′′ eff (ρ 1)(ρ − ρ 1 ) 2 + O((ρ − ρ 1 ) 3 ) = u 1 + A(ρ − ρ 1 ) 2 + O((ρ − ρ 1 ) 3 )Sostituendo nel principio di conservazione dell’energia si ottiene l’equazione differenziale˙ρ 2 = 2 µ[ε − A(ρ − ρ1 ) 2]che può essere integrata con condizione iniziale ρ(0) = ρ 1 per ottenere√ (√ )ερ(t) = ρ 1 +A sin 2Aµ tPertanto durante la rivoluzione attorno all’origine, la particella compie radialmente oscillazioni di periodoT osc = 2π √ µ/2A e ampiezza √ ε/A. È interessante osservare che se il periodo di rivoluzione vieneapprossimato con T 1 alloraT oscT riv≃√L 2µρ 4 1 − 5µρ8 1 + 3L2che è una funzione strettamente crescente da 1/2 a +∞ nell’intervallo 0 ≤ L < √ µ/4. quindi il periodo dioscillazione è la metà di quello di rivoluzione per L → 0, mentre è molto maggior di quello di rivoluzioneper L grande. In altri termini: la nuova condizione iniziale perturba poco il moto circolare uniforme seL è grande, mentre lo perturba pesantemente se L è piccolo.5. Fissato il momento angolare L ≠ 0 considero la condizione iniziale ρ(0) = ρ 2 , ˙θ(0) = L/µρ22 e˙ρ(0) = √ 2ε/µ. Si verifica facilmente che l’energia totale radiale è e = u 2 + ε. Allora l’orbita dellaparticella è illimitata e la particella si allontana indefinitamente da ρ(0) = ρ 1 . È possibile stimare inmodo molto “rozzo” la legge oraria radiale:e = 1 2 µ ˙ρ2 + u eff (ρ) ⇒ ˙ρ 2 = 2 µ [e − u eff(ρ)] = 2 µ [u 2 + ε − u eff (ρ)] ≥ 2 µ [u 2 + ε − u eff (ρ 2 )] = 2εµ ,fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 83