Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

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la struttura del ritratto di fase si cerca un integrale primo del sistema dinamico: si considera il campoν(x, y) = (4x(x 2 − 1), −2y) ortogonale in ogni punto al campo delle direzioni e, ricordando che l’integraleprimo deve avere gradiente parallelo a ν in ogni punto, deve esistere una funzione µ : R 2 → R tale che∇u(x, y) = µ(x, y)ν(x, y), ovvero∂u∂x = 4x(x2 − 1)µ(x, y)e∂u∂y= −2yµ(x, y) (2.19)Si deve determinare µ in modo che il campo differenziale costituito dalle due funzioni al secondo memebrodelle equazioni precedenti sia chiuso:∂∂y [4x(x2 − 1)µ(x, y)] = ∂∂x [−2yµ(x, y)] ⇒ [4x(x2 − 1)] ∂µ∂y = [−2y]∂µ ∂xL’equazione precedente è soddisfatta se si sceglie µ(x, y) = 1; allora l’integrale primo è soluzione delleequazioni (2.19) con µ = 1. Integrando la prima si ha u(x, y) = x 4 − 2x 2 + Φ(y), dove Φ è una funzionearbitraria della sola variabile y, sostituendo questa espressione nella seconda delle (2.19) si trovaΦ ′ (y) = −2y ⇒ Φ(y) = −y 2 + costante ⇒ u(x, y) = x 4 − 2x 2 − y 2 + 1 = (x 2 − 1) 2 − y 2dove la costante è stata scelta uguale a uno per porre u in una forma compatta. Si può verificare che icalcoli eseguiti sono corretti verificando che la derivata di Lie della funzione u rispetto al campo vettorialef è nulla in ongi punto:∇u · f = (4x 3 − 4x, −2y) · (2y, 4x 3 − 4x) = 8x 3 y − 8xy − 8x 3 y + 8xy = 0Per disegnare le curve di livello u(x, y) = a, con a ∈ R fissato, è conveniente iniziare con quelle passantiper i punti critici: u(−1, 0) = u(1, 0) = 0 e u(0, 0) = 1. Si considera dapprima la curva di livello a = 0,cioè (x 2 − 1) 2 − y 2 = 0, che fornisce le due parabole y = x 2 − 1 e y = −(x 2 − 1); quindi in corrispondenzadel valore a = 0 si hanno le due parabole passanti per i punti fissi P 1 e P 3 disegnate nel grafico di destradella figura 2.13. Si considera, ora, la curva di livello a = 1, cioè (x 2 − 1) 2 − 1 = y 2 , che fornisce ilpunto fisso nell’origine e le curve di equazione y = ± √ (x 2 − 1) 2 − 1 = ± √ x 2 (x 2 − 2). Queste curve sonodefinite nella regione x < √ 2 e x > √ 2, negli estremi degli intervalli di definizione intersecano l’asse y ein questo punto hanno derivata verticale, per esempio per il ramo positivod √x2 (xdx2 1− 2) =2 √ x 2 (x 2 − 2) (4x3 − 4x) = 2x(x2 − 1)√x2 (x 2 − 2)L’espressione della derivata appena calcolata mostra anche che l’arco di curva di livello considerato èdecrescente nella regione x < √ 2 e crescente nella regione x > √ 2. Tutte queste osservazioni permettonodi disegnare la curva di livello a = 1; si veda la figura 2.13.Tutte le altre curve di livello possono essere disegnate per continuità e il verso di percorrenza puòessere stabilito sulla base del campo delle direzioni sui punti della curva, si veda il grafico a destra nellafigura 2.13. Sulla base del ritratto di fase in figura si può concludere, anche se a rigore non si tratta didimostrazioni cristalline perché le linee di fase sono state dedotte con argomenti non del tutto rigorosi,che il punto fisso P 2 è stabile, mentre gli altri due punti fissi sono instabili. La curva di livello passanteper i punti fissi instabili, cioè la curva di livello u(x, y) = 0, è detta separatrice e in questo caso ècostitutita da due parabole.Per quanto riguarda i valori di a nelle diverse regioni in cui è suddiviso il ritratto di fase è sufficientecalcolare u(x, y) in qualche punto opportuno e poi ricordare che u è una funzione continua:– per a = 0, la curva di livello è la separatrice, cioè passa per i due punti fissi instabili, ed è costituitadall’unione dei due grafici delle parabole di equazione y = ±(x 2 − 1). Sulla separatrice giaccionootto linee di fase, due delle quali corrispondono ai punti fissi.fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 34
– Per a = 1, la curva di livello passa per il punto fisso stabile e consta di tre componenti conesse:una degenere e coicidente con l’origine e le altre due costituite dall’unione dei grafici delle funzioniy = ± √ x 2 (x 2 − 1) rispettivamente per x ≤ − √ 2 e x ≥ √ 2. Su ciascuna componente connessagiace una sola linea di fase, pertanto sulla curva di livello corrispondente ad a = 1 giacciono trelinee di fase.– Per a < 0, si hanno le curve di livello nella regione al di sopra delle separatrici e in quella al disotto delle separatrici; più precisamente ciascuna curva è costituita da due componenti connessele quali giacciono rispettivamente nelle regioni del piano delle fasiA a x 2 −1) o (−1 ≤ x ≤ 1 e y > 1−x 2 ) o (x ≥ 1 e y > x 2 −1)}eA a √ 2 e − √ x 2 (x 2 − 1) < y < √ x 2 (x 2 − 1)}A a>1,− := {(x, y) ∈ R 2 : x < − √ 2 e − √ x 2 (x 2 − 1) < y < √ x 2 (x 2 − 1)}Si noti che A a>1,− è ottenuta da A a>1,+ per simmetria rispetto all’asse y. Su ciascuna componenteconnessa di ciascuna curva di livello giace una sola linea di fase. Quindi su ciascuna curva di livellogiacciono due linee di fase.Le curve di livello u(x, y) = a sono equazioni algebriche di quarto grado che possono essere risolterispetto alla variabile y; per esempio il ramo positivo della curva di livello corrispondente ad a = 1 haequazione y = √ (x 2 − 1) 2 − 1. Questa proprietà permette di esprimere come integrale definito il tempodi percorrenza lungo l’orbita di fase, per esempio il tempo T che il sistema preparato nel punto ( √ 2, 0)impiega per giungere nel punto (2, 2 √ 2) si scrive come segue:ẋ = 2y ⇒ ẋ = 2 √ (x 2 − 1) 2 − 1 ⇒∫ 2√2∫dxT√(x2 − 1) 2 − 1 = 20dt ⇒ T = 1 2∫ 2√2dx√(x2 − 1) 2 − 1Questo integrale può essere calcolato numericamente o stimato con i metodi discussi nel paragrafo 1.4.Come secondo esempio si considera la separatrice y = −(x 2 − 1) e si suppone di preparare il sistemain (0, 1); sia T (b) il tempo impiegato per giungere in (b, 1 − b 2 ) con 0 ile 2006 – 13:12 pagina 35
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6.3. Equazione di Laplace: funzioni
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