Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

3.3. Analisi grafica: tempi di percorrenzaIl ritratto di fase non fornisce, a prima vista, informazioni sull’andamento temporale delleorbite, ma in alcuni casi è possibile scoprire qualcosa. Per esempio si può dimostrareche lungo la separatrice il moto è asintotico al punto di equilibrio instabile. Considerol’arco di traiettoria su Γ 1 u 4con punto iniziale q u 41 . L’equazione della curva di livello èp = √ 2(u 4 − u(q)), quindi il tempo impiegato a raggiungere il punto di ascissa q 4 − ε,con ε > 0 piccolo, è∫ q4 −εdqT q4 −ε = √2(u4 − u(q))q u 41Il punto q 4 è uno zero almeno doppio del polinomio P (q) := u 4 − u(q), poiché P (q 4 ) = 0e u ′ (q 4 ) = 0. Pertanto posso scrivere u 4 − u(q) = (q − q 4 ) 2 (aq 2 + bq + c) con opportunia, b, c ∈ R. Si ha aq 2 + bq + c ≥ 0 per q ∈ [q u 41 , q 4 ] e inoltre è, ovviamente, limitatonello stesso intervallo chiuso e limitato; quindi esiste un numero reale e positivo k tale cheaq 2 + bq + c ≤ k per q ∈ [q u 41 , q 4 ]. In conclusionee quindiT q4 −ε =T q4 −ε ≥∫ q4 −εq u 41∫ q4 −εq u 41∫dqq4 −ε√2(u4 − u(q)) ≥q u 41∫dqq4 −ε√k|q − q4 | =q u 41dq√k(q − q4 ) 2dq√k(q4 − q)da cui si ha T q4 −ε → ∞ quando ε → 0; da cui si ha T q4 −ε → ∞ quando ε → 0; dunque ilmoto su Γ 1 u 4 è asintotico. Nella stima precedente è stata usata la forma polinomiale dellafunzione energia potenziale u; lo stesso risultato può essere ottenuto in modo più generaleusando soltanto il fatto che u ′′ (q 4 ) < 0. Infatti, ricordando che P (q 4 ) = P ′ (q 4 ) = 0e P ′′ (q 4 ) = −u ′′ (q 4 ) > 0, preso δ > 0 piccolo si ha che la funzione P può essere scrittamediante la seguente formula di Taylor arrestata al secondo ordine: per ogni q ∈ [q 4 −δ, q 4 ]P (q) = − 1 2 u′′ (q 4 )(q − q 4 ) 2 + ω(q) = − 1 2 u′′ (q 4 )(q − q 4 ) 2 [1 +ω(q)]−u ′′ (q 4 )(q − q 4 ) 2 /2con lim q→q4 ω(q)/(q − q 4 ) 2 = 0. La formula precedente permette di stimare dall’alto lafunzione P , infatti si può scegliere δ così piccolo che per ogni q ∈ [q 4 − δ, q 4 ] si abbiaω(q)/(−u ′′ (q 4 )(q − q 4 ) 2 /2) < 1/2, allora P (q) < −(3/4)u ′′ (q 4 )(q − q 4 ) 2 . Usando questastima si può, infine, dimostrare che il moto lungo la separatrice è asintotico: detto T q4 iltempo impiegato dal sistema dinamico per giungere in q 4 a partire da q u 44 si haT q4 ≥∫ q4q 4 −δdq√2P (q)>∫ q4q 4 −δdq√−(3/4)u′′(q 4 )(q − q 4 ) 2 = ∫ q4q 4 −δ2 dq√−3u′′(q 4 )(q 4 − q) = +∞Si considera, ora, l’orbita con energia e = 0, in particolare si dimostra che esiste unmoto periodico, se ne stima il periodo e lo si calcola esattamente. In corrispondenza di e =0 esiste un’orbita periodica con punti di inversione q 2 = −1 e q 3 = +1, giacente sulla curvadi livello di equazione p = ± √ 2[0 − u(q)] = ± √ 2(1 − q 2 )(q + 2) 2 = ±(q + 2) √ 2(1 − q 2 ).fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 70