Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

Esercizio 6.54. Un corda di lunghezza l con estremi fissati rigidamente è perturbata da un colpo di unmartelletto acuto che le trasferisce impulso I nel punto x 0 . Trovare la deviazione della corda u(x, t) se ladeviazione iniziale è nulla.Soluzione 6.54: u(x, t) = [2I/(πϱc)] ∑ n≥1 sin(nπx 0/l) sin(nπx/l) sin(nπct/l).Esercizio 6.55. Propagazione ondosa in un mezzo dispersivo. Si risolva l’equazione differenziale∂ 2 u∂x 2 − 1 c 2 ∂ 2 u∂t 2 − β ∂u∂t = 0 in D := {(x, y) ∈ R2 : 0 < x < π, t > 0}ove 0 < β < 2/c, con condizioni di Dirichelet–Neumann u(0, t) = u(π, t) = 0 per ogni t > 0, u(x, 0) = sin xe ∂u/∂t(x, 0) = 0.Soluzione 6.55: u(x, t) = exp{−βc 2 t/2}[cos(δt/2)+(βc 2 /δ) sin(δt/2)] sin x, ove si è introdotto il parametroδ = √ β 2 c 4 − 4c 2 .Esercizio 6.56. Propagazione ondosa forzata. Si risolva l’equazione differenziale∂ 2 u∂x 2 − 1 ∂ 2 uc 2 ∂t 2 = A sin ωt in D := {(x, y) ∈ R2 : 0 < x < π, t > 0}ove A, ω ∈ R, con condizioni di Dirichelet–Neumann u(0, t) = u(π, t) = 0 per ogni t > 0, u(x, 0) = 0 e∂u/∂t(x, 0) = 0.Soluzione 6.56: ω n = nπc/a, se esiste N tale che ω N = ω (condizione di risonanza) allora la soluzione èdata dau(x, t) = 4Ac2π∑n≥1,n≠Nn dispari(1n(ωn 2 − sin ωt − ω )sin ω n t sin n π ( )ω2 ) ω n a x + 2Ac2 1Nωπ ω sin ωt − t cos ωt sin N π a xEsercizio 6.57. Si risolva l’equazione differenziale∂ 2 u∂x 2 − 1 c 2 ∂ 2 u∂t 2 = A in D := {(x, y) ∈ R2 : 0 < x < π, t > 0}ove A ∈ R, con condizioni di Dirichelet–Neumann u(0, t) = u(π, t) = 0 per ogni t > 0, u(x, 0) = 0 e∂u/∂t(x, 0) = 0.Soluzione 6.57: in questo caso non si verifica il fenomeno della risonanza, la soluzione è data dau(x, t) = 4A π[ ∑n≥1n dispari1n 3 cos nct sin nx − ∑ sin nxn≥1n dispari]= 4A π∑n≥1n dispari1n 3 cos nct sin nx − 1 Ax(π − x)2Esercizio 6.58. Propagazione ondosa forzata. Si risolva l’equazione differenziale∂ 2 u∂x 2 − 1 c 2 ∂ 2 u∂t 2 = Ax sin ωt in D := {(x, y) ∈ R2 : 0 < x < π, t > 0}ove A, ω ∈ R, con condizioni di Dirichelet–Neumann u(0, t) = u(π, t) = 0 per ogni t > 0, u(x, 0) = 0 e∂u/∂t(x, 0) = 0.Soluzione 6.58: ω n = nc, se per ogni n = 1, 2, . . . si ha ω n ≠ ω (assenza di risonanza) allora la soluzioneè data dau(x, t) = 2Ac ∑ (2 cos nπn(ω 2 n≥1 n − ω 2 sin ωt − ω )sin ω n t sin nx) ω nfismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 112