Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

integrante, tale che il campo vettoriale (µν 1 , µν 2 ) è un differenziale esatto, dove ν è ilcampo vettoriale continuo ortogonale in ogni punto a f. Per fare ciò è sufficiente trovareuna qualsiasi funzione µ a valori reali per la quale sia soddisfatta la condizione di chiusura∂∂x 1(µ(x 1 , x 2 )ν 2 (x 1 , x 2 )) =∂∂x 2(µ(x 1 , x 2 )ν 1 (x 1 , x 2 )) (2.15)È utile sottolineare che µ non è un campo vettoriale ma una funzione definita sull’apertoI e a valori reali, cioè è una funzione scalare. Una volta determinata µ si risolvono leequazioni (2.14) e si determina l’integrale primo u. Se il sistema dinamico ammette unintegrale primo che soddisfa alle (2.14) con µ = 1, allora si dice che il sistema dinamicoè hamiltoniano e l’integrale primo u soddisfacente le (2.14) viene detto hamiltonianadel sistema.Nell’esempio seguente viene discusso in modo dettagliato un sistema dinamico planarefacendo ricorso a tutti gli strumenti introdotti fino a questo punto. In particolare emergeràl’utilità enorme degli integrali primi nello studio qualitativo del ritratto di fase. Come si ègià osservato in precedenza il ritratto di fase non fornisce alcuna informazione sui tempi dipercorrenza lungo le diverse orbite; nell’esempio che segue si vedrà che se l’integrale primoè abbastanza semplice, cioè se l’equazione che definisce le curve di livello può essere risoltarispetto ad almeno una delle due variabili, allora i tempi di percorrenza possono esserericondotti al calcolo di un integrale definito. Nello studio dei sistemi dinamici planari sipreferirà spesso la notazione (x, y), in sostituzione di (x 1 , x 2 ), per il generico punto di R 2che rappresenta lo stato del sistema.Esempio 2.18. Si considera il sistema dinamico planare{ ẋ = e x y 2ẏ = −e x xy(2.16)Il sistema dinamico è nella forma (2.6) con campo delle f(x, y) = (exp{x}y 2 , − exp{x}xy). Punti fissi:f = 0 ⇒ (e x y 2 , −e x xy) = (0, 0) ⇒ y = 0 e x arbitrarioSono punti fissi tutti e soli i punti dell’asse x. L’andamento qualitativo del campo delle direzioni f è riportatonel diagramma a sinistra nella figura 2.12. Per capire più a fondo la struttura del ritratto di fase sicerca un integrale primo del sistema dinamico: si considera il campo ν(x, y) = (− exp{x}xy, − exp{x}y 2 )ortogonale in ogni punto al campo delle direzioni e, ricordando che l’integrale primo deve avere gradienteparallelo a ν in ogni punto, deve esistere una funzione µ : R 2 → R tale che ∇u(x, y) = µ(x, y)ν(x, y),ovvero∂u∂x = −ex xyµ(x, y)e∂u∂y = −ex y 2 µ(x, y) (2.17)Si deve determinare µ in modo che il campo differenziale costituito dalle due funzioni al secondo membrodelle equazioni precedenti sia chiuso:∂∂y [−ex xyµ(x, y)] = ∂∂x [−ex y 2 µ(x, y)] ⇒ ∂∂y [x] = ∂∂x [y] ⇒ 0 = 0dove si è scelto µ(x, y) = −1/(y exp{x}); allora l’integrale primo è soluzione delle equazioni (2.17) conquesta scelta di µ. Integrando le (2.17) seguendo la procedura adottata nell’Esempio 2.19 si ha u(x, y) =fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 32