Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

Esercizio 1.4. Supponendo uniforme la temperatura dell’atmosfera e supponendo che l’aria si comporticome un gas ideale, si costruisca un modello per la variazione della pressione con la quota. Sapendo chedensità dell’aria al livello del mare vale 1250 g/m 3 , si determini a quale altezza la pressione si dimezza.Soluzione: l’equazione ṗ = −[g/(RT )]p, la quota di dimezzamento è h = (RT/g) log 2 = 5.54 km.Esercizio 1.5. Si modifichi l’equazione logistica supponendo che la popolazione venga decimata con tassocostante c. Si scriva l’equazione del modello. Si determinino i punti fissi. Si disegni il ritratto di fase nelpiano delle fasi esteso al variare di c e si studino euristicamente le proprietà di stabilità dei punti fissi. Sidetermini esplicitamente l’equazione delle linee di fase.Soluzione: l’equazione è ẋ = (1 − x)x − c con c ∈ R.Esercizio 1.6. Una variazione sul tema dell’equazione logistica permette di studiare l’evoluzione dellapopolazione degli insetti dell’abete rosso tenendo in conto l’effetto dei predatori. L’equazione si scrivenella formadN(1dt = rN − N )− N 2q 1 + N 2 (1.8)con r, q ≥ 0. Si disegni il diagramma di fase del modello nel piano q–r, ovvero si determinino il numerodi punti fissi al variare dei parametri. Si disegni il ritratto di fase nelle diverse regioni del diagramma difase.Esercizio 1.7. Il numero di isotopi radioattivi decade con tasso proporzionale al numero di individui.Si scriva l’equazione del modello. Si determinino i punti fissi. Si disegni il ritratto di fase nel piano dellefasi esteso e si studino euristicamente le proprietà di stabilità dei punti fissi. Si determini esplicitamentel’equazione delle linee di fase.Soluzione: l’equazione è Ṅ = −N/τ con τ ≥ 0.Esercizio 1.8. Il numero di isotopi radioattivi in un reattore decade con tasso proporzionale al numerodi individui e ha un termine di crescita con tasso costante λ > 0. Si scriva l’equazione del modello. Sideterminino i punti fissi. Si disegni il ritratto di fase nel piano delle fasi esteso e si studino euristicamentele proprietà di stabilità dei punti fissi. Si determini esplicitamente l’equazione delle linee di fase.Soluzione: l’equazione è Ṅ = λ − N/τ con τ ≥ 0.Esercizio 1.9. Si consideri la catena radioattiva A −→ B −→ C e si supponga che il primo decadimentoabbia tasso 1/α e il secondo tasso 1/β. Si scriva l’equazione che regola l’evoluzione della specie B.L’equazione risulta non autonoma; se ne determi la soluzione. Si disegni il grafico della soluzione nelacaso della catena23492U −→23090226Th −→ 88 Ra (1.9)sapendo che i rate di decadimento sono τ U = 2.48 × 10 5 anni e τ T h = 8.0 × 10 3 anni.Soluzione: l’equazione è˙ N B = (N A0 /α) exp{−t/α} − N B /β.Esercizio 1.10. Si determini l’equazione differenziale che regola l’evoluzione della velocità di un corpo incaduta libera in un fluido viscoso. Si determinino i punti fissi. Si disegni il ritratto di fase nel piano dellefasi esteso e si studino euristicamente le proprietà di stabilità dei punti fissi. Si determini esplicitamentel’equazione delle linee di fase.Soluzione: l’equazione è m ˙v = mg − kv con k, m, g ∈ R.Esercizio 1.11. Un fascio di raggi X di intensità (energia per unità di tempo e di superficie) I 0 penetrain un metallo. Si suppone che gli elettroni in banda di conduzione abbiano densità n e che ciascunelettrone diffonda il fascio con sezione d’urto σ (potenzia irradiata diviso intensità incidente). Si determinil’equazione differenziale che regola la densità I(x) del fascio che ha percorso la distanza x nel mezzo. Sifismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 9