Esercizi e appunti per il corso di Fisica Matematica - Sezione di ...

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La discussione delle proprietà di stabilità dei punti fissi (a, b, 0) del piano Ω 1 Ω 2 è unpo’ più complicata. Si vede subito che lo studio del sistema linearizzato non permettedi concludere alcunché perché gli autovalori della matrice associata al sistema linearizzatorisultano tutti con parte reale nulla. Ciò accade perché la natura del campo delledirezioni è abbastanza peculiare: il campo è nullo sul piano Ω 1 Ω 2 , mentre in qualsiasialtro piano ortogonale all’asse Ω 3 è circolare attorno all’asse Ω 3 . Ciò lascia intuire chei punti fissi del tipo (a, b, 0) sono instabili: se si perturba di poco il punto fisso (a, b, 0)restando nel piano Ω 1 Ω 2 si ottiene ancora un punto fisso, quindi il moto risultante restavicino a quello non perturbato; ma se si perturba di poco il punto fisso introducendo unapiccola componente lungo l’asse Ω 3 , cioè se si considera un dato iniziale del tipo (a, b, µ)con µ ∈ R piccolo quanto si voglia, il sistema dinamico, sospinto dal campo circolare, effettueràun moto circolare attorno all’asse Ω 3 lungo la curva di livello dell’integrale primodell’energia. Ciò lascia intuire che i punti fissi del tipo (a, b, 0) sono instabili. Questo argomento,però, pur essendo estremamente convincente, non costituisce una dimostrazionerigorosa dell’instabilità dei punti fissi del piano equatoriale perché, essendo il problematridimensionale, non è possibile usare il Teorema 2.22, e quindi non si può affermare concertezza come si evolve il moto lungo la linea di livello dell’integrale primo dell’energia.Tutti i dubbi restanti possono essere spazzati via risolvendo in modo esplicito il sistemadinamico. Si osserva, infatti, che nel caso giroscopico non è difficile risolvere le equazioni diEulero, si veda [12, Capitolo XII] per i dettagli, con dato iniziale Ω 1 (0) = ¯Ω 1 , Ω 2 (0) = ¯Ω 2e Ω 3 (0) = ¯Ω 3 . Osservato che la funzione Ω 3 (t) = ¯Ω 3 soddisfa alla terza equazione (2.44)e al dato iniziale, si ha che le ulteriori due equazioni si riducono a˙Ω 1 = (1 − α) Ω 2 ¯Ω3 e ˙Ω2 = (α − 1) ¯Ω 3 Ω 1Derivando la prima delle equazioni precedenti e sostituendo la seconda nell’equazione cosìottenuta si ottiene l’equazione del moto armonico semplice ¨Ω 1 + (1 − α) 2 ¯Ω2 3 Ω 1 = 0. Consemplici passaggi si perviene, nel caso α < 1, alla soluzioneΩ 1 (t) =√¯Ω2 1 + ¯Ω 2 2 sin ( (1 − α)¯Ω 3 t + ψ ) e Ω 2 (t) =√¯Ω2 1 + ¯Ω 2 2 cos ( (1 − α)¯Ω 3 t + ψ )dove ψ è tale che sin ψ = ¯Ω 1 / √¯Ω2 1 + ¯Ω 2 2 e cos ψ = ¯Ω 2 / √¯Ω2 1 + ¯Ω 2 2; è interessante osservareche per ¯Ω 3 = 0 la soluzione si riduce al punto fisso, cioè alla rotazione permanente. Lasoluzione esplicita conferma in modo puntuale i risultati relativi alla stabilità dei puntifissi ottenuti sulla base dello studio dell’integrale primo dell’energia.3. Sistemi meccanici conservativi unidimensionaliSi consideri un sistema meccanico unidimensionale costituito da una palla di massa unitariasottoposta all’azione della forza g(x) di classe C 1 su R, con x la posizione dellaparticella. Il moto è descritto dall’equazione di Newtonẍ = g(x) (3.1)fismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 64
Il problema (3.1) può essere ricondotto allo studio di un sistema dinamico (2.6) per mezzodelle nuove variabili q = x e p = ẋ, si veda l’Esempio 2.1, e studiato in modo graficocon i metodi visti nei paragrafi precedenti, si vedano gli Esempi 2.34 e 2.35. Lo studioqualitativo diventa particolarmente completo nel caso in cui il sistema meccanico èconservativo, cioè se esiste una funzione u : R → R di classe C 2 su R, detta energiapotenziale, tale che g = −du/dx. In questo caso, si veda l’Esempio 2.16, la funzioneh : (q, p) ∈ R 2 → h(q, p) := p 2 /2 + u(q) ∈ R, detta energia meccanica, è un integraleprimo del sistema dinamico, ovvero una costante del moto.Nel corso di questo capitolo verranno dapprima discussi i teoremi relativi alla stabilitàdei punti di equilibrio, si veda il paragrafo 3.1, e in secondo luogo verrà mostrato comepossa essere condotto uno studio grafico molto dettagliato dei moti dei sistema meccaniciconservativi unidimensionali, si veda il paragrafo 3.2. Il paragrafo 3.5 è dedicatoall’applicazione dei metodi grafici allo studio dei moti centrali.3.1. Teoremi di stabilitàSulla base dei risultati dimostrati nel paragrafo 2.5 a proposito della stabiltà dei punti fissidei sistemi dinamici, è possibile ricavare risultati molto significativi relativi alla stabilitàdei punti di equilibrio di un sistema meccanico conservativo. In primo luogo si ricordache un punto x e ∈ R è di equilibrio per il sistema meccanico (3.1) se e solo se g(x e ) = 0,cioè se e solo se la forza che agisce sulla particelle in quel punto è nulla. È immediatoverificare che il punto x e è di equilibrio per il sistema meccanico (3.1) se e solo se il puntodello spazio delle fasi (x e , 0) è di equilibrio per il sistema dinamico ˙q = p e ṗ = g(q), doveq = x e p = ẋ, equivalente al sistema meccanico considerato.Si ricorda, inoltre, che il punto di equilibrio x e del sistema meccanico (3.1) è di equilirbiostabile se e solo se comunque si prendano ε 1 , ε 2 > 0 esistono δ 1 , δ 2 > 0 tali che perogni x 0 , v 0 ∈ R si ha che se |x 0 − x e | ≤ δ 1 e |v 0 | ≤ δ 2 allora l’unico moto con dato inizialex(0) = x 0 e ẋ(0) = v 0 è tale che |x(t) − x e | ≤ ε 1 e |ẋ(t)| ≤ ε 2 per ogni t ≥ 0. È immediatoverificare che il punto x e è di equilibrio stabile per il sistema meccanico (3.1) se e solose il punto dello spazio delle fasi (x e , 0) è di equilibrio stabile per il sistema dinamicoequivalente.Teorema 3.1 (Dirichelet) Si consideri il sistema meccanico unidimensionale (3.1); sisupponga che il sistema sia conservativo e che la sua energia potenziale sia u ∈ C 1 (R).Sia x e ∈ R; se x e è un punto di minimo relativo proprio per la funzione energia potenzialeu, allora x e è un punto di equilibrio stabile.Dimostrazione. Essendo x e un minimo relativo proprio di u ed essendo u di classe C 1 suR, si ha che u ′ (x e ) = 0, allora g(x e ) = 0 e quindi x e è di equilibrio per il sistema meccanico(3.1) e quindi (x e , 0) lo è per il sistema dinamico equivalente ˙q = p e ṗ = g(q) ottenutoponendo q = x e p = ẋ.Si considera, ora, la funzione w(q, p) = p 2 /2+u(q)−u(x e ) e si osserva che w(x e , 0) = 0;inoltre, essendo x e di minimo relativo proprio per u, esiste un aperto I ⊂ R 2 tale chefismat05.tex – 20 Aprile 2006 – 13:12 pagina 65
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⇒ x(t) = Ce tcon C ∈ RImpondend
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✻x✟✻✟ ✟ ✟ ✟x✻x 0x
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viene scelto vicino a x 2 il sistem
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Esercizio 1.4. Supponendo uniforme
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Questo è parzialmente vero nel cas
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Esercizio 6.66. Si risolva l’equa
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4. u 0 (x) = exp{−α|x|} con α
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6.3. Equazione di Laplace: funzioni
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